作者Lanjaja ()
看板Math
標題[代數] group representation或者trace的小問題
時間Mon Aug 15 09:08:28 2011
最近有一段敘述一直想不懂
所以想上來求教
希望板上強者能夠解答
G_i是某個群裡面的元素
given representation D: G_i → D(G_i)
Prove character(或是trace) χ((G_i)^(-1)) = χ(G_i)* (共軛)
想請教一下強者如何證明這段話?
P.S.然後書上有一句小註解說It is evident in cyclic groups.
我連cyclic group這個特例都想不出來(有那麼evident?)
感謝強者的解答
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◆ From: 128.220.147.86
1F：推 yusd24 :先試想 D(G_i) 是一個對角矩陣, |G|=n, cyclic 08/15 09:42
2F：→ yusd24 :或是說 "D(G_i)的trace其實就是eigenvalue的和 08/15 09:43
3F：推 yusd24 :對了...你這裡是有限群表示理論吧@@? 08/15 09:46
4F：→ Lanjaja :有時候書上說無限群的結果也一樣 我不知道這個地方是 08/15 11:05
5F：→ Lanjaja :不是一樣 不過通常應該是指有限群 08/15 11:06
6F：→ Lanjaja :可是假設是對角矩陣 D(G^-1) = diag[1/a_1 1/a_2..] 08/15 11:07
7F：→ Lanjaja :這樣trace和a_1+a_2+....只是共軛的關係嗎? 08/15 11:07
8F：→ Lanjaja :謝謝 cyclic group的特例我會證了 但是noncyclic 08/15 11:49
9F：→ Lanjaja :group的話 如果剛好是兩種generating elementA B的乘 08/15 11:50
10F：→ Lanjaja :積 那麼該如何證明呢?(就是一般的情況) 08/15 11:50
11F：→ Lanjaja :如果可以的話可以請yusd24提一下有限和無限群的結果 08/15 11:51
12F：→ Lanjaja :有什麼不同的地方嗎? 感謝回答 08/15 11:51
13F：推 Vulpix :compact group的話應該會一樣 08/15 11:51
14F：→ Vulpix :non-cpt.的話可以看Z： D(n)=2^n，D(-n)=1/(2^n) 08/15 12:38