※ 引述《toydogcat (^O^)》之銘言： : 標題: [微積] 所有的數都是0 發生什麼事? : 時間: Fri Aug 12 01:06:23 2011 : : 今天碰到一件奇怪的事 就是所有數都是0 : : 到底發生什麼事了 : : 令a_n=(1+(-1))=0 : b_n=((-1)+1)=0 : : 那 : : 0 = 0+0+....+0+.... : = lim sum a_n 當n跑到無限大 : = 1+lim sum b_n : = 1+0+0+....+0+.... : = 1 : : 另外 : : 0 = 0+0+....+0+.... : = lim sum b_n 當n跑到無限大 : = -1+lim sum a_n : = -1+0+0+....+0+.... : = -1 : : 上面也就是用 : : 0 = (1+(-1))+(1+(-1))+....+(1+(-1))+.... : = 1+((-1)+1)+((-1)+1)+....+((-1)+1)+.... : = 1 : : 0 = ((-1)+1)+((-1)+1)+....+((-1)+1)+.... : = -1+(1+(-1))+(1+(-1))+....+(1+(-1))+.... : = -1 : : 因為 : 1=0=-1 : 給任何一個數a把上面乘a : 所以 a = 0 = -a : 全都是0 所以全部的數只有0 : 這就是大一統嗎 來看看發生什麼事： 0 = 0+0+....+0+.... = lim sum a_n 當n跑到無限大 = 1+lim sum b_n = 1+0+0+....+0+.... = 1 無窮級數和為什麼會跟 數列的limsup liminf有關= = 然後 你的a_n , b_n 其實都是0 0 = 0+0+....+0+.... n = lim Σ a_n n→∞ k=1 n = lim Σ (1+(-1)) = 0 沒錯 n→∞ k=1 可是 你把第一個一抽出來之後 變成 n-1 = lim 1+ Σ ((-1)+1) + (-1) n→∞ k=1 lim要後算 此結果還是等於0 最後要講的就是 1.無窮級數要可以隨便拆順序 要絕對收斂才可以 不然像是 0 = (1+(-1))+(1+(-1))+....+(1+(-1))+.... 我有兩種詮釋方法 ∞ a. (1+(-1))+(1+(-1))+....+(1+(-1))+.... = Σ (1+(-1)) = 0 n=0 ∞ b. (1+(-1))+(1+(-1))+....+(1+(-1))+.... = Σ (-1)^n 發散 n=0 2. 你寫出無窮多項時 就是考慮到lim_{n→∞} 此時如果級數不絕對收斂 你就要把你"加的方式"給出來 意思是說 像上面的a. b. 都是1-1+1-1+1... 可是湊的方式不一樣 答案就不同 --

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