※ 引述《jason8002 (一個人一杯咖啡)》之銘言： : 用英文查了一下 : 扶正者? no, 沒有人會講這個 每個人都是講英文 centralizer : 據我了解 : 他是 : C(a)={g包涵G | g*a=a*g} 包含於 : 就是給定一個a包含於G : 我們可以找到g在G裡面並跟a符合交換律的性質 : 我們稱之為 the centralizer of a. : 但是跟這個 centralizer 有什麼關係? 1. 你需要"先"知道的是 center G 中的 center 寫作 Z(G) 即是那些 "可以和 G 中所有元素交換" 的元素 真的寫出來就是 Z(G) = { x in G; gx = xg for all g in G } 一般來說任意元素 a in G 不會落在 center Z(G) 中 但我們必定可以找 centralizer of a 讓 a 落在 C(a) 的 center 中 2. 大學部代數中, 學 centralizer 最直接的用途是算 conjugacy class 的大小 即包含 a 的 conjugacy class 個數為 [G:C(a)] 學代數應該要能自己由定義導出這件事 之後便能得到 class equation |G| = |Z(G)| + Σ [G : C(x_i)] 用 class equation 配合 Lagrange 定理就能瞬間得到一些定理 做的事情通常是計算 [G: C(x_i)] 的可能來對 Z(G) 的大小做限制 一旦得出 |Z(G)| = |G|, 便能知道 G 是交換群 3. 在有限群的研究中, 觀察 self-centralizing subgroups 也頗有用 不過我不是這方面的專家, 有請其他人補充 4. 另一個相關的概念是 normalizer N(H) = { g in G; gH = Hg } 一般來說任意子群 H in G 不見得 normal ( gH = Hg for all g in G ) 但我們必定可以找 normalizer of H 讓 H normal in N(H) 5. 大學部代數中, 學 normalizer 才能證明 Sylow 定理 是有限群論在群表現理論出現之前最強大且唯一的工具 6. 深一點的代數中, normalizer 也影響深遠, 比方說李代數第一個大定理是複半單李代數的分類定理, 簡單的講, 就是李代數 L 的 Cartan 子代數 H 在 L 上的作用夠好, 就像是向量空間 V 拆解成不同的 (generalized) eigenspaces 一樣, 推廣概念, 李代數 L 也可以拆解成不同的 weight spaces, 就可以用 Dynkin diagrams 來描述這些 weight 研究 Dynkin diagrams 並證明其對應, 便成功的將複半單李代數分類 而這一切都要歸功於 Cartan 子代數 H 夠好, 他的定義是什麼? Nilpotent self-normalizing subalgebra 7. 再扯遠一點, 雖然 centralizer 在以後的用途好像沒那麼多, 但是 center 卻是會一直學到, 很重要的概念, 意義可以想成量度一個數學結構的可交換程度 實例, 不好意思我又舉個李代數的例子: 李代數表現論中, 兩個重要的結構是 Verma module M(λ) 和 simple module L(μ) 研究 L(μ) 出現在 M(λ) 中幾次是個結合代數幾何和表現理論的超級大難題 稱 Kazhdan-Lusztig conjecture, 在 1980 年左右由 Beilinson-Bernstein 解出, 印象中是個 1983 ICM talk (對, 就是那個頒 fields 獎的會) 省略技術面, 這個問題的基礎建立在 Harish-Chandra 定理上 定理敘述是 Z(L) 和 S(H)^W 作為 algebra 同構, 其中 Z(L) 是 center of the universal enveloping algebra of L S(H)^W 是 symmetric algebra on H 上, 在 Weyl group 作用下不變的結構 8. ........好像扯太遠了 總之學代數不要只看定義, 一來要知道課本定義背後藏了什麼東西 二來要能夠真的計算實際的群, 我大力推薦初學者把對稱群 Sn 作為研究主體 把所有你看到的抽象定義都算一遍看看 G = Sn 的特例為何 -- 「我們愛星星至深無懼於黑暗。」 "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night." --

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