※ 引述《jason8002 (一个人一杯咖啡)》之铭言： : 用英文查了一下 : 扶正者? no, 没有人会讲这个 每个人都是讲英文 centralizer : 据我了解 : 他是 : C(a)={g包涵G | g*a=a*g} 包含於 : 就是给定一个a包含於G : 我们可以找到g在G里面并跟a符合交换律的性质 : 我们称之为 the centralizer of a. : 但是跟这个 centralizer 有什麽关系? 1. 你需要"先"知道的是 center G 中的 center 写作 Z(G) 即是那些 "可以和 G 中所有元素交换" 的元素 真的写出来就是 Z(G) = { x in G; gx = xg for all g in G } 一般来说任意元素 a in G 不会落在 center Z(G) 中 但我们必定可以找 centralizer of a 让 a 落在 C(a) 的 center 中 2. 大学部代数中, 学 centralizer 最直接的用途是算 conjugacy class 的大小 即包含 a 的 conjugacy class 个数为 [G:C(a)] 学代数应该要能自己由定义导出这件事 之後便能得到 class equation |G| = |Z(G)| + Σ [G : C(x_i)] 用 class equation 配合 Lagrange 定理就能瞬间得到一些定理 做的事情通常是计算 [G: C(x_i)] 的可能来对 Z(G) 的大小做限制 一旦得出 |Z(G)| = |G|, 便能知道 G 是交换群 3. 在有限群的研究中, 观察 self-centralizing subgroups 也颇有用 不过我不是这方面的专家, 有请其他人补充 4. 另一个相关的概念是 normalizer N(H) = { g in G; gH = Hg } 一般来说任意子群 H in G 不见得 normal ( gH = Hg for all g in G ) 但我们必定可以找 normalizer of H 让 H normal in N(H) 5. 大学部代数中, 学 normalizer 才能证明 Sylow 定理 是有限群论在群表现理论出现之前最强大且唯一的工具 6. 深一点的代数中, normalizer 也影响深远, 比方说李代数第一个大定理是复半单李代数的分类定理, 简单的讲, 就是李代数 L 的 Cartan 子代数 H 在 L 上的作用够好, 就像是向量空间 V 拆解成不同的 (generalized) eigenspaces 一样, 推广概念, 李代数 L 也可以拆解成不同的 weight spaces, 就可以用 Dynkin diagrams 来描述这些 weight 研究 Dynkin diagrams 并证明其对应, 便成功的将复半单李代数分类 而这一切都要归功於 Cartan 子代数 H 够好, 他的定义是什麽? Nilpotent self-normalizing subalgebra 7. 再扯远一点, 虽然 centralizer 在以後的用途好像没那麽多, 但是 center 却是会一直学到, 很重要的概念, 意义可以想成量度一个数学结构的可交换程度 实例, 不好意思我又举个李代数的例子: 李代数表现论中, 两个重要的结构是 Verma module M(λ) 和 simple module L(μ) 研究 L(μ) 出现在 M(λ) 中几次是个结合代数几何和表现理论的超级大难题 称 Kazhdan-Lusztig conjecture, 在 1980 年左右由 Beilinson-Bernstein 解出, 印象中是个 1983 ICM talk (对, 就是那个颁 fields 奖的会) 省略技术面, 这个问题的基础建立在 Harish-Chandra 定理上 定理叙述是 Z(L) 和 S(H)^W 作为 algebra 同构, 其中 Z(L) 是 center of the universal enveloping algebra of L S(H)^W 是 symmetric algebra on H 上, 在 Weyl group 作用下不变的结构 8. ........好像扯太远了 总之学代数不要只看定义, 一来要知道课本定义背後藏了什麽东西 二来要能够真的计算实际的群, 我大力推荐初学者把对称群 Sn 作为研究主体 把所有你看到的抽象定义都算一遍看看 G = Sn 的特例为何 -- 「我们爱星星至深无惧於黑暗。」 "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night." --

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