作者jurian0101 (Hysterisis)
看板Math
標題Re: [中學] TRML..完全平方數問題
時間Thu Aug 4 12:46:26 2011
※ 引述《ntucc (整個想完蛋..好累!)》之銘言：
: 前一題柯西感謝提示～已經解出....
: 又有一題 n x 2^n-1 +1 為一完全平方數. n為正整數
: 試問符合之所有n ？
: 我用代數字的得到一解是n=5 可是我應該是要確認他在5之後沒有正整數解
: 請問有蛇麼方法可以說明嗎？....
設 n 2^(n-1) + 1 = a^2
→ n 2^(n-1) = (a+1)(a-1), a必奇, 設a=2b+1
→ n 2^(n-3) = b(b+1)
分開討論，若 n|b, 設b=kn, k>0
-> 2^(n-3) = k (kn+1)
k 和 kn+1必定一奇一偶，故必有k=1,
但這樣 2^(n-3) = n+1 沒有整數根 (勘根可知 5<n<6)
所以 n|b+1
-> 2^(n-3) = (kn-1) k ,同理但這時有可能是kn-1 = 1 或 k=1
前者明顯不合，所以只有2^(n-3) = n-1
方程式只有n=5一根 ■
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ps 其實我是從 5 * 2^4 +1 = 81 的式子倒推回來的，說破沒價值XD
→ 5 * 2^(5-3) = 4 * 5
→ 2^(5-3) = 4 * 1
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◆ From: 218.164.9.119
1F：→ keroro321 :n 不一定整除 b 或 b+1 喔 08/04 15:45
2F：→ keroro321 :應該說 2^max|n*2^(n-3) => 2^max|k 或 2^max|k+1 08/04 15:46
3F：→ keroro321 :所以只要計算多大的n 使得 2^(n-3) > n+1即可. (n>6) 08/04 15:46
4F：→ keroro321 :所以只要去 check n<7 08/04 15:47
5F：推 madguy :是不是應該說，b或b+1其中的奇數可以整除n，再用比大 08/05 05:14
6F：→ madguy :小的方式去排除n>6的情形。 08/05 05:14