作者jurian0101 (Hysterisis)
看板Math
标题Re: [中学] TRML..完全平方数问题
时间Thu Aug 4 12:46:26 2011
※ 引述《ntucc (整个想完蛋..好累!)》之铭言：
: 前一题柯西感谢提示～已经解出....
: 又有一题 n x 2^n-1 +1 为一完全平方数. n为正整数
: 试问符合之所有n ？
: 我用代数字的得到一解是n=5 可是我应该是要确认他在5之後没有正整数解
: 请问有蛇麽方法可以说明吗？....
设 n 2^(n-1) + 1 = a^2
→ n 2^(n-1) = (a+1)(a-1), a必奇, 设a=2b+1
→ n 2^(n-3) = b(b+1)
分开讨论，若 n|b, 设b=kn, k>0
-> 2^(n-3) = k (kn+1)
k 和 kn+1必定一奇一偶，故必有k=1,
但这样 2^(n-3) = n+1 没有整数根 (勘根可知 5<n<6)
所以 n|b+1
-> 2^(n-3) = (kn-1) k ,同理但这时有可能是kn-1 = 1 或 k=1
前者明显不合，所以只有2^(n-3) = n-1
方程式只有n=5一根 ■
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ps 其实我是从 5 * 2^4 +1 = 81 的式子倒推回来的，说破没价值XD
→ 5 * 2^(5-3) = 4 * 5
→ 2^(5-3) = 4 * 1
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.9.119
1F：→ keroro321 :n 不一定整除 b 或 b+1 喔 08/04 15:45
2F：→ keroro321 :应该说 2^max|n*2^(n-3) => 2^max|k 或 2^max|k+1 08/04 15:46
3F：→ keroro321 :所以只要计算多大的n 使得 2^(n-3) > n+1即可. (n>6) 08/04 15:46
4F：→ keroro321 :所以只要去 check n<7 08/04 15:47
5F：推 madguy :是不是应该说，b或b+1其中的奇数可以整除n，再用比大 08/05 05:14
6F：→ madguy :小的方式去排除n>6的情形。 08/05 05:14