作者caseypie (吟遊詩人)
看板Math
標題Re: [微積] Cauchy-Euler ODE
時間Sun Jul 31 15:27:29 2011
※ 引述《doublewhi (趙哥)》之銘言：
: 這題我想了很久還是不知道算錯在哪
: 2
: 題目: / d^2 d \
: | ----- + ----- | y =0 由於那括弧太噁心了接下來簡稱他( )
: \ dr^2 rdr /
: 不知這樣大家看不看的懂orz
: 我的想法是: 既然變系數ODE微分運算子不能直接乘開
: 那我令
: Y(r) = ( )y , 解( )Y=0 , 解出Y=c1 + c2*lnr
: 再解 ( )y = c1+c2*lnr , 解出y= c3 + c4*lnr + c1'(lnr)^2 + c2'(lnr)^3
: 不知哪一步驟錯了 :( 拜託各位了
那個( )正好是柱座標（或二維極座標）的laplacian算符的r部份
1 d dy
( )y = --- --- ( r ---- )
r dr dr
你的第一步是正確的，但是第二步解錯：
1 d dy
( )y = --- --- ( r ---- ) = c1 + c2*lnr
r dr dr
d dy
--- ( r ---- ) = c1*r + c2*r*lnr
dr dr
計算 ∫r*lnr dr = r(r*lnr-r) - ∫(r*lnr-r)dr = r^2*lnr-r^2/2 -∫r*lnr dr
得 ∫r*lnr dr = (r^2*lnr)/2 - r^2/4
因此上式兩邊積分得 r(dy/dr) = (c1/2-c2/4)*r^2 + (c2/2)*r^2*lnr + c3
重定不定參數得 dy/dr = A*r + B*r*lnr + C/r
再積分得 y = (A/2-B/4)*r^2 + (B/2)*r^2*lnr + C*lnr + D
重定參數 y = A*r^2 + B*r^2*lnr + C*lnr + D
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