作者caseypie (吟游诗人)
看板Math
标题Re: [微积] Cauchy-Euler ODE
时间Sun Jul 31 15:27:29 2011
※ 引述《doublewhi (赵哥)》之铭言：
: 这题我想了很久还是不知道算错在哪
: 2
: 题目: / d^2 d \
: | ----- + ----- | y =0 由於那括弧太恶心了接下来简称他( )
: \ dr^2 rdr /
: 不知这样大家看不看的懂orz
: 我的想法是: 既然变系数ODE微分运算子不能直接乘开
: 那我令
: Y(r) = ( )y , 解( )Y=0 , 解出Y=c1 + c2*lnr
: 再解 ( )y = c1+c2*lnr , 解出y= c3 + c4*lnr + c1'(lnr)^2 + c2'(lnr)^3
: 不知哪一步骤错了 :( 拜托各位了
那个( )正好是柱座标（或二维极座标）的laplacian算符的r部份
1 d dy
( )y = --- --- ( r ---- )
r dr dr
你的第一步是正确的，但是第二步解错：
1 d dy
( )y = --- --- ( r ---- ) = c1 + c2*lnr
r dr dr
d dy
--- ( r ---- ) = c1*r + c2*r*lnr
dr dr
计算 ∫r*lnr dr = r(r*lnr-r) - ∫(r*lnr-r)dr = r^2*lnr-r^2/2 -∫r*lnr dr
得 ∫r*lnr dr = (r^2*lnr)/2 - r^2/4
因此上式两边积分得 r(dy/dr) = (c1/2-c2/4)*r^2 + (c2/2)*r^2*lnr + c3
重定不定参数得 dy/dr = A*r + B*r*lnr + C/r
再积分得 y = (A/2-B/4)*r^2 + (B/2)*r^2*lnr + C*lnr + D
重定参数 y = A*r^2 + B*r^2*lnr + C*lnr + D
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