作者empty24 ()
看板Math
標題Re: [線代] rank跟solution的個數
時間Tue Jul 26 11:01:44 2011
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: Ax = b
: 1. A為3*5矩陣 rank(A)=3
: 2. 4*3, rank(A)=3
: 3. 3*5, rank(A)=5 這個應該不可能吧?
: 4. 3*4, rank(A)=2
: 5. 4*4, rank(A)=4
: 這個問題是要判斷像是: 所有b有解，且為無窮多解
: 有些b有解，且為唯一解
: 無解或其他
: 請問這個要怎麼判斷呢?
: 謝謝
令F是一個體且A是一個佈於F的m*n矩陣。則A為T對應於β、γ的矩陣表示式，其中
n m n
T: F → F 定義成T(x)=Ax for all x in F
n m
而β和γ分別為 F 和 F 的標準有序基底。
n m
您可以自行檢查T是一個 F 到 F 的線性變換。因此由維度定理可知，
nullity(T)+rank(T)=n。
接著定義rank(A)為rank(T)。 (p.s. rank(A)有不同的定義方式，我選擇從這裡出發)
然後就可以開始回答您的問題了! (以下的T皆為對應於A的線性變換)
1. A為3*5矩陣且rank(A)=3
可知nullity(T)=2(T非1-1)且rank(T)=3(T為onto)
因此答案為 所有b有解，且為無窮多組解
2. A為4*3矩陣且rank(A)=3
可知nullity(T)=0(T為1-1)且rank(T)=3(T非onto)
因此答案為 有些b有解，且為唯一解
其餘的題目也可以循此概念解釋，我就不逐一解釋了
比較特別的情況是
若A是m*n矩陣且
m n
(1) rank(A)=m, 則對所有的b in F , 都存在x in F 滿足Ax=b.
因此存在一個n*m矩陣B滿足AB=I_m, 其中I_m為m階單位矩陣.
(2) rank(A)=n, 則Ax=0沒有非零解且存在一個n*m矩陣B滿足BA=I_n.
(利用(1)及rank(A)=rank(A^t)可證得(2).)
更特別地，若A為n*n方陣且rank(A)=n，由(1)和(2)知
存在n*n方陣B和C滿足AB=I_n且CA=I_n.
則B=I_nB=(CA)B=C(AB)=CI_n=C. 因此A為可逆矩陣。
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