作者empty24 ()
看板Math
标题Re: [线代] rank跟solution的个数
时间Tue Jul 26 11:01:44 2011
※ 引述《mqazz1 (无法显示)》之铭言：
: Ax = b
: 1. A为3*5矩阵 rank(A)=3
: 2. 4*3, rank(A)=3
: 3. 3*5, rank(A)=5 这个应该不可能吧?
: 4. 3*4, rank(A)=2
: 5. 4*4, rank(A)=4
: 这个问题是要判断像是: 所有b有解，且为无穷多解
: 有些b有解，且为唯一解
: 无解或其他
: 请问这个要怎麽判断呢?
: 谢谢
令F是一个体且A是一个布於F的m*n矩阵。则A为T对应於β、γ的矩阵表示式，其中
n m n
T: F → F 定义成T(x)=Ax for all x in F
n m
而β和γ分别为 F 和 F 的标准有序基底。
n m
您可以自行检查T是一个 F 到 F 的线性变换。因此由维度定理可知，
nullity(T)+rank(T)=n。
接着定义rank(A)为rank(T)。 (p.s. rank(A)有不同的定义方式，我选择从这里出发)
然後就可以开始回答您的问题了! (以下的T皆为对应於A的线性变换)
1. A为3*5矩阵且rank(A)=3
可知nullity(T)=2(T非1-1)且rank(T)=3(T为onto)
因此答案为 所有b有解，且为无穷多组解
2. A为4*3矩阵且rank(A)=3
可知nullity(T)=0(T为1-1)且rank(T)=3(T非onto)
因此答案为 有些b有解，且为唯一解
其余的题目也可以循此概念解释，我就不逐一解释了
比较特别的情况是
若A是m*n矩阵且
m n
(1) rank(A)=m, 则对所有的b in F , 都存在x in F 满足Ax=b.
因此存在一个n*m矩阵B满足AB=I_m, 其中I_m为m阶单位矩阵.
(2) rank(A)=n, 则Ax=0没有非零解且存在一个n*m矩阵B满足BA=I_n.
(利用(1)及rank(A)=rank(A^t)可证得(2).)
更特别地，若A为n*n方阵且rank(A)=n，由(1)和(2)知
存在n*n方阵B和C满足AB=I_n且CA=I_n.
则B=I_nB=(CA)B=C(AB)=CI_n=C. 因此A为可逆矩阵。
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