作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] int(cl(A)) = A
時間Sun Jul 24 10:49:17 2011
如題
如果 A 不是 open set, 很容易舉到反例
考古題中 它寫 if A is an open set of R^n
Prove or give an counterexample of int(cl(A)) = A
我想了很久 造不出反例 而且感覺是對的
可是去證的時候就一直證不出來@@"
Pf：(L(A)代表A的所有limit point(存在一個每項不相等的數列))
int(cl(A)) = int(A U L(A)) = int(A) U int(L(A)) = A U int(L(A)) (因為int(A)=A)
所以 int(cl(A)) = A U int(L(A)) >= A (>=是包含)
現在要證 int(cl(A)) =< A (=<是被包含)
也就是要證 for all x€int(cl(A)) then x€A
x€int(cl(A)) → x€A or int(L(A))
Case1：x€A done
Case2：x€int(L(A))
→ there exists r > 0, s.t. D(x;r) =< L(A)
問題來了
現在就是一個半徑=r的n-ball，每一點都是A的limit point
也就是說此ball的每一點旁邊都有A的點
可是要怎麼確定說
至少這ball的其中一點 其旁邊的A點 一定會選到中心點x
如果能說明這件事 那麼就確定x€A了
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最後問一下
if A is open
then A =< L(A)
這是對的嗎??
我自己是想說：
for all x€A , there exists r > 0 s.t. D(x;r) =< A
then L(D(x;r)) =< L(A)
then {x}€cl(D(x;r)) = L(D(x;r)) =< L(A)
so x€L(A)
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◆ From: 61.223.103.90
1F：→ znmkhxrw :阿= =發覺第一題取n-ball中間一個洞就是反例了@@ 07/24 10:54
2F：推 hjmeric :第二題 A取宇集 07/24 11:43
3F：推 hjmeric :然後此metric space不是R^n應該就可以舉到反例 07/24 11:45
4F：推 hjmeric :如果是R^n那證明應該是對的，差別在第三行的 07/24 11:55
5F：→ hjmeric :cl(D(x;r))=L(A(x;r)):如果D(x;r)只有一個點就不相等 07/24 11:57