作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] int(cl(A)) = A
时间Sun Jul 24 10:49:17 2011
如题
如果 A 不是 open set, 很容易举到反例
考古题中 它写 if A is an open set of R^n
Prove or give an counterexample of int(cl(A)) = A
我想了很久 造不出反例 而且感觉是对的
可是去证的时候就一直证不出来@@"
Pf：(L(A)代表A的所有limit point(存在一个每项不相等的数列))
int(cl(A)) = int(A U L(A)) = int(A) U int(L(A)) = A U int(L(A)) (因为int(A)=A)
所以 int(cl(A)) = A U int(L(A)) >= A (>=是包含)
现在要证 int(cl(A)) =< A (=<是被包含)
也就是要证 for all x€int(cl(A)) then x€A
x€int(cl(A)) → x€A or int(L(A))
Case1：x€A done
Case2：x€int(L(A))
→ there exists r > 0, s.t. D(x;r) =< L(A)
问题来了
现在就是一个半径=r的n-ball，每一点都是A的limit point
也就是说此ball的每一点旁边都有A的点
可是要怎麽确定说
至少这ball的其中一点 其旁边的A点 一定会选到中心点x
如果能说明这件事 那麽就确定x€A了
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最後问一下
if A is open
then A =< L(A)
这是对的吗??
我自己是想说：
for all x€A , there exists r > 0 s.t. D(x;r) =< A
then L(D(x;r)) =< L(A)
then {x}€cl(D(x;r)) = L(D(x;r)) =< L(A)
so x€L(A)
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◆ From: 61.223.103.90
1F：→ znmkhxrw :阿= =发觉第一题取n-ball中间一个洞就是反例了@@ 07/24 10:54
2F：推 hjmeric :第二题 A取宇集 07/24 11:43
3F：推 hjmeric :然後此metric space不是R^n应该就可以举到反例 07/24 11:45
4F：推 hjmeric :如果是R^n那证明应该是对的，差别在第三行的 07/24 11:55
5F：→ hjmeric :cl(D(x;r))=L(A(x;r)):如果D(x;r)只有一个点就不相等 07/24 11:57