作者Lindemann (當助教真不是人幹的)
看板Math
標題Re: [微積] 一題積分
時間Sat Jul 9 16:16:00 2011
※ 引述《Lindemann (當助教真不是人幹的)》之銘言：
: ※ 引述《stos0924 (好棒)》之銘言：
: : pi sinx
: : S -------------- dx
: : 0 1 + cos^2x
: : 解出
: : = - [tan^-1 (cos pi) - tan^-1 (cos 0)]
: : = - [ 135 - 45 ]
: : = (- pi / 2)
: : 可是答案是... (pi / 2) why...?
: : 判斷哪兒出問題了嗎...?
: : 謝謝~
: let u = cosx , du = -sinx 象限取在 [ 0 , pi ]
: we get
: -1 1
: - S ------ du = tan(1)-tan (-1) = pi / 4-(-pi / 4)= pi / 2
: 1
: 1+u^2
抱歉,我今天坐車冥想心算發現我好像又算錯了><,原po的計算是對的
但是 sinx 和 1 + cos^2x 在 0到 pi 積分一定是正的 ,發現一個"paradox"
0到 pi之間
tan(1)-tan (-1) = pi / 4- 3pi / 4 = - pi / 2
有沒有人可以來解釋一下這個 paradox???
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◆ From: 140.113.127.110
1F：推 jacky7987 :arctan:R-->(-pi/2,pi/2)? 07/09 16:23
2F：→ jacky7987 :所以arctan(-1)=-pi/4 07/09 16:24
3F：→ jacky7987 :(我記得取的branch是一四象限) 07/09 16:25
4F：→ Lindemann :但是我的定義域取0到pi,因為積分上下限是0到pi呀? 07/09 16:26
5F：推 jacky7987 :這樣的arctan不連續吧?取0-pi的話(開始動搖XDDD 07/09 16:30
6F：→ jacky7987 :感覺會在原本tan(pi/2)=+-inf的地方出問題!? 07/09 16:31
7F：→ jacky7987 :當初好想就是為了避免這種鬼情況才選-pi/2~pi/2? 07/09 16:32
8F：→ jacky7987 :然後arccot選0-pi 07/09 16:32
9F：→ Lindemann :我當初是沒想清楚而且我知道積分必是正才亂湊這個XDD 07/09 16:33
10F：→ jacky7987 :不嚴格來講，+-無限大都打到pi/2(如果選0~pi的話) 07/09 16:33
11F：→ jacky7987 :似乎就不是1-1了(亂解釋ing XDD 07/09 16:34
12F：推 jacky7987 :如果選-pi/2~pi/2的話就可以避免掉這個問題!? 07/09 16:37
13F：→ Lindemann :嗯,取這就不是一對一了,所以真的不能隨便亂換,再想想 07/09 16:37
14F：→ jacky7987 :簡言之，因為tan是連續的，所以取arctan的時候也必 07/09 16:37
15F：→ jacky7987 :須選個範圍讓他連續 07/09 16:38
16F：→ Lindemann :tan是並不是連續函數,除非你選定某些定區間讓她連續 07/09 16:49
17F：推 jacky7987 :恩恩我的意思是這樣QQ 07/09 16:51
18F：→ Lindemann :既然定義域已經選好了,我也在此作變數變換,那就不能 07/09 16:55
19F：→ Lindemann :任意去更改定義域吧? 所以tan(-1)含著眼淚選3/4 pi 07/09 16:56
20F：→ Lindemann :但是又違反了函數為正積分必為正的定理,真是奇怪? 07/09 16:57
21F：推 jacky7987 :對於那個式子來說，因為 arctan就只是乖乖地把 07/09 17:16
22F：→ jacky7987 :cos(pi)打到-pi/2而已，似乎也沒有特別詭譎，因為 07/09 17:17
23F：→ jacky7987 :那個1的來源是cos(pi)整體而言沒有換定義域吧 07/09 17:17
24F：→ jacky7987 : -1 07/09 17:17
25F：→ jacky7987 : -pi/4 07/09 17:18
26F：→ jacky7987 :(一直打錯拍謝:P 07/09 17:18