作者Lindemann (当助教真不是人干的)
看板Math
标题Re: [微积] 一题积分
时间Sat Jul 9 16:16:00 2011
※ 引述《Lindemann (当助教真不是人干的)》之铭言：
: ※ 引述《stos0924 (好棒)》之铭言：
: : pi sinx
: : S -------------- dx
: : 0 1 + cos^2x
: : 解出
: : = - [tan^-1 (cos pi) - tan^-1 (cos 0)]
: : = - [ 135 - 45 ]
: : = (- pi / 2)
: : 可是答案是... (pi / 2) why...?
: : 判断哪儿出问题了吗...?
: : 谢谢~
: let u = cosx , du = -sinx 象限取在 [ 0 , pi ]
: we get
: -1 1
: - S ------ du = tan(1)-tan (-1) = pi / 4-(-pi / 4)= pi / 2
: 1
: 1+u^2
抱歉,我今天坐车冥想心算发现我好像又算错了><,原po的计算是对的
但是 sinx 和 1 + cos^2x 在 0到 pi 积分一定是正的 ,发现一个"paradox"
0到 pi之间
tan(1)-tan (-1) = pi / 4- 3pi / 4 = - pi / 2
有没有人可以来解释一下这个 paradox???
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.127.110
1F：推 jacky7987 :arctan:R-->(-pi/2,pi/2)? 07/09 16:23
2F：→ jacky7987 :所以arctan(-1)=-pi/4 07/09 16:24
3F：→ jacky7987 :(我记得取的branch是一四象限) 07/09 16:25
4F：→ Lindemann :但是我的定义域取0到pi,因为积分上下限是0到pi呀? 07/09 16:26
5F：推 jacky7987 :这样的arctan不连续吧?取0-pi的话(开始动摇XDDD 07/09 16:30
6F：→ jacky7987 :感觉会在原本tan(pi/2)=+-inf的地方出问题!? 07/09 16:31
7F：→ jacky7987 :当初好想就是为了避免这种鬼情况才选-pi/2~pi/2? 07/09 16:32
8F：→ jacky7987 :然後arccot选0-pi 07/09 16:32
9F：→ Lindemann :我当初是没想清楚而且我知道积分必是正才乱凑这个XDD 07/09 16:33
10F：→ jacky7987 :不严格来讲，+-无限大都打到pi/2(如果选0~pi的话) 07/09 16:33
11F：→ jacky7987 :似乎就不是1-1了(乱解释ing XDD 07/09 16:34
12F：推 jacky7987 :如果选-pi/2~pi/2的话就可以避免掉这个问题!? 07/09 16:37
13F：→ Lindemann :嗯,取这就不是一对一了,所以真的不能随便乱换,再想想 07/09 16:37
14F：→ jacky7987 :简言之，因为tan是连续的，所以取arctan的时候也必 07/09 16:37
15F：→ jacky7987 :须选个范围让他连续 07/09 16:38
16F：→ Lindemann :tan是并不是连续函数,除非你选定某些定区间让她连续 07/09 16:49
17F：推 jacky7987 :恩恩我的意思是这样QQ 07/09 16:51
18F：→ Lindemann :既然定义域已经选好了,我也在此作变数变换,那就不能 07/09 16:55
19F：→ Lindemann :任意去更改定义域吧? 所以tan(-1)含着眼泪选3/4 pi 07/09 16:56
20F：→ Lindemann :但是又违反了函数为正积分必为正的定理,真是奇怪? 07/09 16:57
21F：推 jacky7987 :对於那个式子来说，因为 arctan就只是乖乖地把 07/09 17:16
22F：→ jacky7987 :cos(pi)打到-pi/2而已，似乎也没有特别诡谲，因为 07/09 17:17
23F：→ jacky7987 :那个1的来源是cos(pi)整体而言没有换定义域吧 07/09 17:17
24F：→ jacky7987 : -1 07/09 17:17
25F：→ jacky7987 : -pi/4 07/09 17:18
26F：→ jacky7987 :(一直打错拍谢:P 07/09 17:18