作者pgcci7339 (= =)
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標題Re: [中學] 99年南一中資優班甄選試題
時間Fri Jul 1 03:31:30 2011
※ 引述《iloveyy (阿)》之銘言：
: 有兩題要麻煩大家~~
: 1.一等腰三角形之外接圓半徑為12,內切圓半徑為4,試問兩圓圓心距離為何?
: 標準答案:根號48
: 2.梯形ABCD周長為600,四邊長皆為整數,若線段AB=BC=CD,線段AD為最大邊,
: ABCD面積為k倍根號k,其中k為三位正整數,求k的所有數字和?
: 標準答案:15
2. 令BC//AD，設 AB=BC=CD = x，則 AD=600-3x
在AD上取一點E使得BC=AE=x，則DE=600-4x，且 CE=x
在三角形CDE中，CD+CE > DE => x+x > 600-4x => x > 100
又 AD為最大邊 => 600-3x > x => x < 150
故 100 < x < 150 。
由海龍公式知 △CDE面積 = √[(300-x)(300-2x)(300-2x)(3x-300)]
= (1/2)*(600-4x)*h，h為高
=> h=√[(300-x)(3x-300)]
故 梯形ABCD面積= (1/2)*(600-2x)*√[(300-x)(3x-300)]
= √[(300-x)^3(3x-300)]
= √(k^3)
∴ 3x-300 = 3(x-100) = 3^3*n^3，n=1,2,...
因為 100 < x < 150，故只有 n=1滿足，所以 x = 109
=> k^3=(300-109)^3*3^3=573^3
=> k=573
∴k 的所有數字和 = 5+7+3=15。
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