作者pgcci7339 (= =)
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标题Re: [中学] 99年南一中资优班甄选试题
时间Fri Jul 1 03:31:30 2011
※ 引述《iloveyy (阿)》之铭言：
: 有两题要麻烦大家~~
: 1.一等腰三角形之外接圆半径为12,内切圆半径为4,试问两圆圆心距离为何?
: 标准答案:根号48
: 2.梯形ABCD周长为600,四边长皆为整数,若线段AB=BC=CD,线段AD为最大边,
: ABCD面积为k倍根号k,其中k为三位正整数,求k的所有数字和?
: 标准答案:15
2. 令BC//AD，设 AB=BC=CD = x，则 AD=600-3x
在AD上取一点E使得BC=AE=x，则DE=600-4x，且 CE=x
在三角形CDE中，CD+CE > DE => x+x > 600-4x => x > 100
又 AD为最大边 => 600-3x > x => x < 150
故 100 < x < 150 。
由海龙公式知 △CDE面积 = √[(300-x)(300-2x)(300-2x)(3x-300)]
= (1/2)*(600-4x)*h，h为高
=> h=√[(300-x)(3x-300)]
故 梯形ABCD面积= (1/2)*(600-2x)*√[(300-x)(3x-300)]
= √[(300-x)^3(3x-300)]
= √(k^3)
∴ 3x-300 = 3(x-100) = 3^3*n^3，n=1,2,...
因为 100 < x < 150，故只有 n=1满足，所以 x = 109
=> k^3=(300-109)^3*3^3=573^3
=> k=573
∴k 的所有数字和 = 5+7+3=15。
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