作者dino6427 (Benjamin)
看板Math
標題Re: [微積] 如何證明二次微分開口的凹性
時間Thu Jun 30 07:29:52 2011
※ 引述《sbnj231t (先騙過自己)》之銘言：
: 函數二次微分>0開口向上
: <0開口向下
: 高中生都知道的常識
: 然而暑假想自己研究為什麼卻發現課本沒寫= =
: 小弟現在用的課本是james stewart 寫的
: 有誰可以給小弟一個完整的證明嗎
: 實在是感激不盡
抱歉之前的微分微錯了
較正確的證法如下，但是這樣證也只能證 x^a ,
有興趣的人再看一下.
f(x1)=(x1)^a
f'(x1)=a(x1)^(a-1)
f''(x1)=a(a-1)(x1)^(a-2)
令a>1, a-1為奇數，a-2為偶數
所以f'(x1<0)<0
f'(x1=0)=0
f'(x1>0)>0
由上之f'(x1)的斜率為遞減=>零=>遞增
此時，f''(x1)=a(a-1)x1^(a-2)>0
同理可證
f(x2)=-(x2)^a
f'(x2)=-a(x2)^(a-1)
f''(x2)=-a(a-1)(x2)^(a-2)
令a>1，a-1為奇數，a-2為偶數
所以f'(x2<0)>0
f'(x2=0)=0
f'(x2>0)<0
由上之f'(x2)的斜率為遞增=>零=>遞減
此時，f''(x2)=-a(a-1)x2^(a-2)<0
如有錯誤觀念，請不吝賜較，感謝!
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