作者dino6427 (Benjamin)
看板Math
標題Re: [微積] 如何證明二次微分開口的凹性
時間Wed Jun 29 11:17:45 2011
※ 引述《sbnj231t (先騙過自己)》之銘言：
: 函數二次微分>0開口向上
: <0開口向下
: 高中生都知道的常識
: 然而暑假想自己研究為什麼卻發現課本沒寫= =
: 小弟現在用的課本是james stewart 寫的
: 有誰可以給小弟一個完整的證明嗎
: 實在是感激不盡
我的想法
令 f(x) = x^a ，a>0
f'(x) = ax f''(x) = a>0 (1)
f'(x) = ax ，依序代入 x<0, x=0, x>0
可得到 f'(x) = ax x<0 ax<0 (2)
x=0 ax=0
x.0 ax>0
由此之f'(x)的斜率為遞減=>等於零=>遞增
可知其圖形凹向上，所以配合(1) (2) 可知
凹向上的圖形其二階微分大於零。
同理可證，令f(x)= -x^a
f'(x) = -ax f''(x) = -a<0 (3)
可得到 f'(x) = -ax x<0 ax>0 (4)
x=0 ax=0
x.0 ax<0
由此之f'(x)的斜率為遞增=>等於零=>遞減
可知其圖形凹向下，所以配合(3) (4) 可知
凹向下的圖形其二階微分小於零。
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.172.220.128
1F：推 G41271 :你這只是證明x^a成立而已 06/29 11:31
2F：→ suhorng :微分怪怪的... 06/29 12:37