作者dino6427 (Benjamin)
看板Math
标题Re: [微积] 如何证明二次微分开口的凹性
时间Wed Jun 29 11:17:45 2011
※ 引述《sbnj231t (先骗过自己)》之铭言：
: 函数二次微分>0开口向上
: <0开口向下
: 高中生都知道的常识
: 然而暑假想自己研究为什麽却发现课本没写= =
: 小弟现在用的课本是james stewart 写的
: 有谁可以给小弟一个完整的证明吗
: 实在是感激不尽
我的想法
令 f(x) = x^a ，a>0
f'(x) = ax f''(x) = a>0 (1)
f'(x) = ax ，依序代入 x<0, x=0, x>0
可得到 f'(x) = ax x<0 ax<0 (2)
x=0 ax=0
x.0 ax>0
由此之f'(x)的斜率为递减=>等於零=>递增
可知其图形凹向上，所以配合(1) (2) 可知
凹向上的图形其二阶微分大於零。
同理可证，令f(x)= -x^a
f'(x) = -ax f''(x) = -a<0 (3)
可得到 f'(x) = -ax x<0 ax>0 (4)
x=0 ax=0
x.0 ax<0
由此之f'(x)的斜率为递增=>等於零=>递减
可知其图形凹向下，所以配合(3) (4) 可知
凹向下的图形其二阶微分小於零。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 218.172.220.128
1F：推 G41271 :你这只是证明x^a成立而已 06/29 11:31
2F：→ suhorng :微分怪怪的... 06/29 12:37