作者ckchi (飄)
看板Math
標題Re: [中學] 一題競賽
時間Tue Jun 28 14:34:38 2011
※ 引述《breaken (我的心藍藍的)》之銘言：
: 對任意實數a,b,c，
: 當a>b時，將(a,b,c)調整為(a-b,b,c-b)；
: 當a<b時，將(a,b,c)調整為(a,b-a,(bc-a^2)/b-a)；
: 當a=b時，維持不變；我們稱這樣的過程為一次調整。
: 若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k)，則k=______.
假設 x,y,z 經過一次調整後變成 x',y',z'
case 1: x>y
x'=x-y , y'=y , z'=z-y
=>
x=x'+y' , y=y' , z=y'+z'
case 2: x<y
x'=x , y'=y-x , z'=[(yz-x^2)/y]-x
=>
x=x' , y=x'+y' , z= {[(x')^2]/(x'+y')}+x'+z'
由於不知道上一回合是a>b還是a<b過來的，
所以回推時兩種都可以 (除非推到矛盾)
至少a=b... 基本上不會發生
我們看兩個最極端的例子：
一路a>b到(1,1,k) 跟
一路a<b到(1,1,k)
case A: 一路a>b到(1,1,k) (x=x'+y' , y=y' , z=y'+z')
a' b' c'
t=0 1 1 k
t=1 2 1 k+1
t=2 3 1 k+2
. . . .
. . . .
. . . .
t=n n+1 1 k+n
結果是 a=n+1, b=1 , c=k+n => k=c-a+1
case B: 一路a<b到(1,1,k) (x=x' , y=x'+y' , z= {[(x')^2]/(x'+y')}+x'+z')
由於一路都是a<b，條件可簡化為：x'=1 =>
z = 1/(1+y') + 1 + z'
a' b' c'
t=0 1 1 k
t=1 1 2 k+1+1/2
t=2 1 3 k+2+(1/2+1/3)
. . . .
. . . .
. . . .
t=n 1 n+1 k+n+[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
結果是 a=1 , b=n+1 , c=k+n+[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
=> k=c-b+1-[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
可以看見，
光是一路a>b到(1,1,k) 跟 一路a<b到(1,1,k)兩種case，
就有不同的結果；
更不用提在過程中a>b和a<b交錯出現的情況了。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.89.133
1F：→ breaken :如果是(3,5,c)呢? 基本上a,b互質一定可化簡 06/28 14:49
2F：→ ckchi :問題在於 你沒辦法找出一般解 06/28 14:59
3F：→ ckchi :(1,n,c) 跟 (n,1,c) 其中n是正整數時 06/28 15:00
4F：→ ckchi :都可以化成 (1,1,k) 06/28 15:01
5F：→ ckchi :但他們兩種情況的k 卻沒辦法寫成相同的式子表示 06/28 15:01
6F：→ ckchi :更一般的 (a,b,c) 要寫成通式就更難了 06/28 15:02
7F：→ ckchi :也許是有方法可以做 只是這個方法我沒想到 06/28 15:08
8F：→ ckchi :可能要麻煩其他人幫忙看看了 抱歉幫不上忙 06/28 15:08
9F：推 breaken :謝謝ckchi大 06/28 19:55