作者ckchi (飘)
看板Math
标题Re: [中学] 一题竞赛
时间Tue Jun 28 14:34:38 2011
※ 引述《breaken (我的心蓝蓝的)》之铭言：
: 对任意实数a,b,c，
: 当a>b时，将(a,b,c)调整为(a-b,b,c-b)；
: 当a<b时，将(a,b,c)调整为(a,b-a,(bc-a^2)/b-a)；
: 当a=b时，维持不变；我们称这样的过程为一次调整。
: 若(a,b,c)经过几次调整後可得到(1,1,k)，则k=______.
假设 x,y,z 经过一次调整後变成 x',y',z'
case 1: x>y
x'=x-y , y'=y , z'=z-y
=>
x=x'+y' , y=y' , z=y'+z'
case 2: x<y
x'=x , y'=y-x , z'=[(yz-x^2)/y]-x
=>
x=x' , y=x'+y' , z= {[(x')^2]/(x'+y')}+x'+z'
由於不知道上一回合是a>b还是a<b过来的，
所以回推时两种都可以 (除非推到矛盾)
至少a=b... 基本上不会发生
我们看两个最极端的例子：
一路a>b到(1,1,k) 跟
一路a<b到(1,1,k)
case A: 一路a>b到(1,1,k) (x=x'+y' , y=y' , z=y'+z')
a' b' c'
t=0 1 1 k
t=1 2 1 k+1
t=2 3 1 k+2
. . . .
. . . .
. . . .
t=n n+1 1 k+n
结果是 a=n+1, b=1 , c=k+n => k=c-a+1
case B: 一路a<b到(1,1,k) (x=x' , y=x'+y' , z= {[(x')^2]/(x'+y')}+x'+z')
由於一路都是a<b，条件可简化为：x'=1 =>
z = 1/(1+y') + 1 + z'
a' b' c'
t=0 1 1 k
t=1 1 2 k+1+1/2
t=2 1 3 k+2+(1/2+1/3)
. . . .
. . . .
. . . .
t=n 1 n+1 k+n+[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
结果是 a=1 , b=n+1 , c=k+n+[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
=> k=c-b+1-[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
可以看见，
光是一路a>b到(1,1,k) 跟 一路a<b到(1,1,k)两种case，
就有不同的结果；
更不用提在过程中a>b和a<b交错出现的情况了。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.89.133
1F：→ breaken :如果是(3,5,c)呢? 基本上a,b互质一定可化简 06/28 14:49
2F：→ ckchi :问题在於 你没办法找出一般解 06/28 14:59
3F：→ ckchi :(1,n,c) 跟 (n,1,c) 其中n是正整数时 06/28 15:00
4F：→ ckchi :都可以化成 (1,1,k) 06/28 15:01
5F：→ ckchi :但他们两种情况的k 却没办法写成相同的式子表示 06/28 15:01
6F：→ ckchi :更一般的 (a,b,c) 要写成通式就更难了 06/28 15:02
7F：→ ckchi :也许是有方法可以做 只是这个方法我没想到 06/28 15:08
8F：→ ckchi :可能要麻烦其他人帮忙看看了 抱歉帮不上忙 06/28 15:08
9F：推 breaken :谢谢ckchi大 06/28 19:55