作者demon (lost my music)
看板Math
標題[中學] 100年楊梅高中教師甄試
時間Fri Jun 24 17:23:40 2011
我來貢獻一下
一、多重選擇題(10分，全對才給分)
http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/yam/teacher/筆試測驗題試題及解答.pdf
短網址：
http://ppt.cc/KhyS
二、填充(每格7分，共84分)
9^x 1 2 2010
1.f(x)=--------，x為實數，求f(------) + (------) + ... + (------) =?
9^x+3 2011 2011 2011
2.等比數列{an}，an>0，a50*a51=16
則㏒(2為底)a1+㏒(2為底)a2+...+㏒(2為底)a100 =?
3.七種冰果，有五個人前往購買，每個人限吃一種，老闆有___種不同的做法。
4.P(1,-2)為y=x^2-4x-2的弦AB中點，求線段AB的長度=?
5.y=x^2與x=y^2在第一象限所圍面積
6.空間中O為原點，向量OA=(0,1,-2)，向量OB=(2,-1,-2)，
已知向量OP=rOA+sOB，r,s為實數，所有P點所形成軌跡方程式為?
7.有一非常大的正整數n，除了不可被1~250中某兩個連數整數k,k+1整除，
皆可被其他整數整除，k=?
8.投擲公正骰子四次，分別得a,b,c,d，求事件(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0發生的機率
9.連接正五邊形ABCDE的五條對角線，圍成正五邊形FGHIJ，再繼續作五條對角線
圍出更小的正五邊形，如灰色區域(註：作兩次對角線所得到的小正五邊形，原題有圖)
若灰色區域邊長1，則ABCDE面積是灰色區域面積的Φ^k倍，則k=?
1+√5
(其中Φ=-------)
2
10.a,b為實數，已知ax^17+bx^16+1能被x^2-x-1整除，則a=?
11.設A,B,C,D四點在同一直線上，且線段AB:BC:CD = 3:5:4，以線段BC為直徑作圓
取圓上任一點P(但P≠B，P≠C)，令∠APB=α，∠CPD=β
求tanαtanβ=?
12.過原點(0,0)有三條相異直線與f(x)=x^3+kx^2+1相切，求實數K的範圍？
三、計算(6分)
x^2 y^2
1.求橢圓------- + ------- = 1 繞x軸旋轉所得的旋轉體體積。
16 9
參考答案：
一、多選題
1.BCD(官方答案)
二、填充題
1. 1005
2. 200
3. 462
4. 2√15
5. 1/3
6. 2x+2y+z=0
7. 127
8. 37/72
9. 8
10. 987
11. 1/6
12. k>3
三、計算題
1. 48π
※ 引述《alless (123)》之銘言：
: 有一個很大的數可以被1~250整除，除了某兩個連續的正整數k,k+1，
: 請問k=?
: 題目大致上是這個意思
: 請問一下
: 如何下手??
我是這樣思考
n是很大的正整數，k如果小於125，則n不能整除k，但可以整除k的2倍，不合
=>所以k>125(2012.03.30補充)
k,k+1兩數中必有一偶數，讓那個偶數為2t(t我先找質數)
n不能整除2t，卻可以整除2及t，不合
例如k為146，n不能整除146，卻可以整除2及73一定不合(2012.03.30補充)
必須讓n不能整除k，卻可以整除其他數，那k一定要有很多2
2^7=128即可，k,k+1有兩種可能，127,128或128,129
因為129=3*43，不合
k=127
--
この闇の中で どんなに離れていても
心は何より強い 絆で呼び合って
寂しい時には 笑っていても分かるよ
冷たい指を涙で 暖めてあげたい
側にいる…
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.105.243.122
1F：推 alless :謝謝~^^ 06/24 17:39
2F：→ bugmens :感謝分享 06/24 17:41
3F：→ demon :我沒math pro帳號，需要轉載請自便^^ 06/24 17:42
4F：→ bugmens :那我把題目用WORD重新打字,大概要花2個小時請稍候 06/24 17:48
真不好意思，我不會上傳，只好用BBS打出來
感謝bugmens大的熱心
5F：推 superlori :第8題好像是求(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0之機率 06/24 17:49
我漏打了=0，謝謝更正
6F：→ superlori :第11題我記得是3:4:5?還是我考試當下就看錯了QQ 06/24 17:50
我是專程去抄考題的，都抄在准考證背後了，應該不會有錯
剛剛查榜筆試只有14分，我只寫127跟987這兩題，計算不寫過程只有答案他沒給分
※ 編輯: demon 來自: 112.105.243.122 (06/24 17:52)
7F：推 snew1209 :感謝分享 但整除是不是要加個被? 06/24 17:51
※ 編輯: demon 來自: 112.105.243.122 (06/24 17:55)
8F：推 superlori :感謝分享~~真的是我自己太眼殘了~~~~ 06/24 17:55
9F：推 saved :感謝分享 請問第10.應該怎麼算比較快? 06/24 18:06
其實我看到題目直接背答案987最快
97年中和高中教甄，那題是-987
10F：推 superlori :可以觀察一下~~~x^2=x+1，代入發現是費式數列~~ 06/24 18:36
除了費氏，我分享一個比較特別的作法
令x^2-x-1=0兩根α、β
α+β=1
αβ=-1
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=3
α^4+β^4=7
α^8+β^8=47
α、β代入原式，由因式定理可知原式為0
aα^17+bα^16+1=0 乘上β^16
aβ^17+bβ^16+1=0 乘上α^16
aα^17β^16+bα^16β^16+β^16=0-----(1)
aα^16β^17+bα^16β^16+α^16=0-----(2)
(1)-(2)得aα^16β^16(α-β)=α^16-β^16 (α^16β^16=1)
a=(α^8+β^8)(α^4+β^4)(α^2+β^2)(α+β)
=47*7*3*1=987
11F：推 dennisal2000:感謝demon大~~還是想知道幾分可以進入複試ˊˋ 06/24 18:46
剛剛聽說有人77分沒進
※ 編輯: demon 來自: 112.105.243.122 (06/24 19:04)
12F：→ tzhau :這些題目都不難 大概要80甚至更高吧... 06/24 18:57
14F：→ bugmens :完整版題目可到這裡下載 06/24 19:14
15F：→ demon :太厲害了，連第三題的文字都補上了@@" 06/24 19:19
16F：→ demon :第9題各點的順序也完全正確，但第7題應該要說正整數 06/24 19:20
17F：推 Arshain :為啥教高中要會橢圓體積呀 ~_~ 06/24 19:38
18F：→ bugmens :題目是我一字不漏抄下來的,原敘述沒有正整數 06/24 19:39
19F：→ bugmens :但考生都知道那是正整數 06/24 19:39
20F：推 Arshain : 不過好像不用積分也可以算吼 ~_~ 06/24 19:40
21F：→ bugmens :初試93複試我會缺考,請剩下的五位考生加油 06/24 19:42
22F：→ RoamingGhost:第七題意外的跟Catalan conjecture有點關係 06/24 19:58
23F：→ RoamingGhost:簡單來說必須要取到兩個連續整數使得這兩個數要碼 06/24 19:59
24F：→ RoamingGhost:是質數或是質數的n次方. 一個選擇就是Mersenne prime 06/24 20:00
25F：→ RoamingGhost:和2 的次方,然後連續取到兩個質數除了2 3 辦不到 06/24 20:01
26F：→ RoamingGhost:那有沒有辦法取到連續兩個數都是質數次方? 06/24 20:01
27F：→ RoamingGhost:或者更一般的能不能取到連續兩個數是次方數 06/24 20:02
28F：→ RoamingGhost:(不一定要是質數的次方) 一個例子是2^3=8跟3^2=9 06/24 20:02
29F：→ RoamingGhost:Catalan conjecture 說這是唯一的例子 06/24 20:03
30F：→ RoamingGhost:這在2002 年已經"算是"被解決了 有人證明大過一個 06/24 20:04
31F：→ RoamingGhost:bound 之後是沒解的 (雖然這個bound 很大) 06/24 20:06
32F：推 rehearttw :Arshain 兄，這次考題是「橢圓旋轉體」，是高中積分 06/24 20:20
33F：推 ppsj :請問填充第一題怎麼寫? 我已經在三個地方看到這題了. 06/24 21:48
34F：→ demon :頭尾兩項通分 06/24 21:49
35F：推 rokam :你把f(1/2011)+f(2010/2011)算看看就知道囉 06/24 21:49
36F：推 rehearttw :bugmens 兄是已經考上別的學校了嗎？ 06/24 23:20
37F：推 snew1209 :想請問多選第一個選項 那個數是否為質數 06/25 16:07
38F：→ snew1209 :想要關鍵字可以讓我google就好 一個選項10分.... 06/25 16:08
39F：推 thisday :那個選項好像是源自 2^2^n+1可作圖 高斯證明的 06/25 19:32
40F：推 rokam :2^2^n+1是否為質數(費馬猜想) 但n=5是錯的 06/25 19:40
41F：→ rokam :當n=5時 2^2^5+1=641x6700417 不是質數 所以第一個 06/25 19:40
42F：→ rokam :選項是錯的 高中數學課本有提到 06/25 19:41
43F：推 JMLiang :93分好威阿0.0 06/25 20:46
※ 編輯: demon 來自: 203.72.235.11 (03/30 13:10)