作者demon (lost my music)
看板Math
标题[中学] 100年杨梅高中教师甄试
时间Fri Jun 24 17:23:40 2011
我来贡献一下
一、多重选择题(10分，全对才给分)
http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/yam/teacher/笔试测验题试题及解答.pdf
短网址：
http://ppt.cc/KhyS
二、填充(每格7分，共84分)
9^x 1 2 2010
1.f(x)=--------，x为实数，求f(------) + (------) + ... + (------) =?
9^x+3 2011 2011 2011
2.等比数列{an}，an>0，a50*a51=16
则㏒(2为底)a1+㏒(2为底)a2+...+㏒(2为底)a100 =?
3.七种冰果，有五个人前往购买，每个人限吃一种，老板有___种不同的做法。
4.P(1,-2)为y=x^2-4x-2的弦AB中点，求线段AB的长度=?
5.y=x^2与x=y^2在第一象限所围面积
6.空间中O为原点，向量OA=(0,1,-2)，向量OB=(2,-1,-2)，
已知向量OP=rOA+sOB，r,s为实数，所有P点所形成轨迹方程式为?
7.有一非常大的正整数n，除了不可被1~250中某两个连数整数k,k+1整除，
皆可被其他整数整除，k=?
8.投掷公正骰子四次，分别得a,b,c,d，求事件(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0发生的机率
9.连接正五边形ABCDE的五条对角线，围成正五边形FGHIJ，再继续作五条对角线
围出更小的正五边形，如灰色区域(注：作两次对角线所得到的小正五边形，原题有图)
若灰色区域边长1，则ABCDE面积是灰色区域面积的Φ^k倍，则k=?
1+√5
(其中Φ=-------)
2
10.a,b为实数，已知ax^17+bx^16+1能被x^2-x-1整除，则a=?
11.设A,B,C,D四点在同一直线上，且线段AB:BC:CD = 3:5:4，以线段BC为直径作圆
取圆上任一点P(但P≠B，P≠C)，令∠APB=α，∠CPD=β
求tanαtanβ=?
12.过原点(0,0)有三条相异直线与f(x)=x^3+kx^2+1相切，求实数K的范围？
三、计算(6分)
x^2 y^2
1.求椭圆------- + ------- = 1 绕x轴旋转所得的旋转体体积。
16 9
参考答案：
一、多选题
1.BCD(官方答案)
二、填充题
1. 1005
2. 200
3. 462
4. 2√15
5. 1/3
6. 2x+2y+z=0
7. 127
8. 37/72
9. 8
10. 987
11. 1/6
12. k>3
三、计算题
1. 48π
※ 引述《alless (123)》之铭言：
: 有一个很大的数可以被1~250整除，除了某两个连续的正整数k,k+1，
: 请问k=?
: 题目大致上是这个意思
: 请问一下
: 如何下手??
我是这样思考
n是很大的正整数，k如果小於125，则n不能整除k，但可以整除k的2倍，不合
=>所以k>125(2012.03.30补充)
k,k+1两数中必有一偶数，让那个偶数为2t(t我先找质数)
n不能整除2t，却可以整除2及t，不合
例如k为146，n不能整除146，却可以整除2及73一定不合(2012.03.30补充)
必须让n不能整除k，却可以整除其他数，那k一定要有很多2
2^7=128即可，k,k+1有两种可能，127,128或128,129
因为129=3*43，不合
k=127
--
この闇の中で どんなに离れていても
心は何より强い 绊で呼び合って
寂しい时には 笑っていても分かるよ
冷たい指を涙で 暖めてあげたい
侧にいる…
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 112.105.243.122
1F：推 alless :谢谢~^^ 06/24 17:39
2F：→ bugmens :感谢分享 06/24 17:41
3F：→ demon :我没math pro帐号，需要转载请自便^^ 06/24 17:42
4F：→ bugmens :那我把题目用WORD重新打字,大概要花2个小时请稍候 06/24 17:48
真不好意思，我不会上传，只好用BBS打出来
感谢bugmens大的热心
5F：推 superlori :第8题好像是求(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0之机率 06/24 17:49
我漏打了=0，谢谢更正
6F：→ superlori :第11题我记得是3:4:5?还是我考试当下就看错了QQ 06/24 17:50
我是专程去抄考题的，都抄在准考证背後了，应该不会有错
刚刚查榜笔试只有14分，我只写127跟987这两题，计算不写过程只有答案他没给分
※ 编辑: demon 来自: 112.105.243.122 (06/24 17:52)
7F：推 snew1209 :感谢分享 但整除是不是要加个被? 06/24 17:51
※ 编辑: demon 来自: 112.105.243.122 (06/24 17:55)
8F：推 superlori :感谢分享~~真的是我自己太眼残了~~~~ 06/24 17:55
9F：推 saved :感谢分享 请问第10.应该怎麽算比较快? 06/24 18:06
其实我看到题目直接背答案987最快
97年中和高中教甄，那题是-987
10F：推 superlori :可以观察一下~~~x^2=x+1，代入发现是费式数列~~ 06/24 18:36
除了费氏，我分享一个比较特别的作法
令x^2-x-1=0两根α、β
α+β=1
αβ=-1
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=3
α^4+β^4=7
α^8+β^8=47
α、β代入原式，由因式定理可知原式为0
aα^17+bα^16+1=0 乘上β^16
aβ^17+bβ^16+1=0 乘上α^16
aα^17β^16+bα^16β^16+β^16=0-----(1)
aα^16β^17+bα^16β^16+α^16=0-----(2)
(1)-(2)得aα^16β^16(α-β)=α^16-β^16 (α^16β^16=1)
a=(α^8+β^8)(α^4+β^4)(α^2+β^2)(α+β)
=47*7*3*1=987
11F：推 dennisal2000:感谢demon大~~还是想知道几分可以进入复试ˊˋ 06/24 18:46
刚刚听说有人77分没进
※ 编辑: demon 来自: 112.105.243.122 (06/24 19:04)
12F：→ tzhau :这些题目都不难 大概要80甚至更高吧... 06/24 18:57
14F：→ bugmens :完整版题目可到这里下载 06/24 19:14
15F：→ demon :太厉害了，连第三题的文字都补上了@@" 06/24 19:19
16F：→ demon :第9题各点的顺序也完全正确，但第7题应该要说正整数 06/24 19:20
17F：推 Arshain :为啥教高中要会椭圆体积呀 ~_~ 06/24 19:38
18F：→ bugmens :题目是我一字不漏抄下来的,原叙述没有正整数 06/24 19:39
19F：→ bugmens :但考生都知道那是正整数 06/24 19:39
20F：推 Arshain : 不过好像不用积分也可以算吼 ~_~ 06/24 19:40
21F：→ bugmens :初试93复试我会缺考,请剩下的五位考生加油 06/24 19:42
22F：→ RoamingGhost:第七题意外的跟Catalan conjecture有点关系 06/24 19:58
23F：→ RoamingGhost:简单来说必须要取到两个连续整数使得这两个数要码 06/24 19:59
24F：→ RoamingGhost:是质数或是质数的n次方. 一个选择就是Mersenne prime 06/24 20:00
25F：→ RoamingGhost:和2 的次方,然後连续取到两个质数除了2 3 办不到 06/24 20:01
26F：→ RoamingGhost:那有没有办法取到连续两个数都是质数次方? 06/24 20:01
27F：→ RoamingGhost:或者更一般的能不能取到连续两个数是次方数 06/24 20:02
28F：→ RoamingGhost:(不一定要是质数的次方) 一个例子是2^3=8跟3^2=9 06/24 20:02
29F：→ RoamingGhost:Catalan conjecture 说这是唯一的例子 06/24 20:03
30F：→ RoamingGhost:这在2002 年已经"算是"被解决了 有人证明大过一个 06/24 20:04
31F：→ RoamingGhost:bound 之後是没解的 (虽然这个bound 很大) 06/24 20:06
32F：推 rehearttw :Arshain 兄，这次考题是「椭圆旋转体」，是高中积分 06/24 20:20
33F：推 ppsj :请问填充第一题怎麽写? 我已经在三个地方看到这题了. 06/24 21:48
34F：→ demon :头尾两项通分 06/24 21:49
35F：推 rokam :你把f(1/2011)+f(2010/2011)算看看就知道罗 06/24 21:49
36F：推 rehearttw :bugmens 兄是已经考上别的学校了吗？ 06/24 23:20
37F：推 snew1209 :想请问多选第一个选项 那个数是否为质数 06/25 16:07
38F：→ snew1209 :想要关键字可以让我google就好 一个选项10分.... 06/25 16:08
39F：推 thisday :那个选项好像是源自 2^2^n+1可作图 高斯证明的 06/25 19:32
40F：推 rokam :2^2^n+1是否为质数(费马猜想) 但n=5是错的 06/25 19:40
41F：→ rokam :当n=5时 2^2^5+1=641x6700417 不是质数 所以第一个 06/25 19:40
42F：→ rokam :选项是错的 高中数学课本有提到 06/25 19:41
43F：推 JMLiang :93分好威阿0.0 06/25 20:46
※ 编辑: demon 来自: 203.72.235.11 (03/30 13:10)