作者iamwjy (醉翁之意)
看板Math
標題Re: [線代]
時間Thu Jun 23 07:13:45 2011
※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
: 設v1,v2.....vn屬於V ,V是一個 inner product space.
: <vi,vj>=┌ 1 ,i=j
: └ 0 ,i≠j 也就是說它們是正規且直交.
: 證明對v屬於V, <v,v1>v1 + <v,v2>v2 + .... + <v,vn>vn
: 是在span(v1,v2.....vn) 上到v最近的那一點
: 麻煩解題了 毫無想法阿 感謝!!
Pf Extend {v_1 , ... , v_n } to an orthonormal basis for V :
{v_1 , ... , v_n , ... , v_m}. This can be done by Gram-Schmidt Process.
Then if v is in V , v= Sum(i=1~m)(c_i v_i).
<v_j,v> = c_j|v_j|^2 = c_j and thus v= Sum(i=1~m)(<v,v_i> v_i).
Now consider any arbitrary vector w = Sum(i=1~n)(d_i v_i) in Span({v_j}:j=1-n)
Compute | w - v |^2 =Sum(i=1~n)(d_i -c_i)^2 +Sum(i=n+1~m)(c_i)^2
≧ 0 +Sum(i=n+1~m)(c_i)^2
The equality holds iff d_i = c_i for all i ,
i.e., the minimum occurs at w = Sum(i=1~n)(<v,v_i> v_i) Q.E.D.
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其實可以用三維的去想，把V看成三維，Span(vi)看成二維。題目就變成是任何一個向量
到平面上最段距離當然就是跟正射影的距離，三維的證明很簡單，基本上就是考慮一個
任意在平面上的向量w到v的距離，只要用直角三角形的斜邊大於高就可以證明了。
這個高維度的證明只是三維的複製版。
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