作者iamwjy (醉翁之意)
看板Math
标题Re: [线代]
时间Thu Jun 23 07:13:45 2011
※ 引述《craig100 (不要问,很‧恐‧怖)》之铭言：
: 设v1,v2.....vn属於V ,V是一个 inner product space.
: <vi,vj>=┌ 1 ,i=j
: └ 0 ,i≠j 也就是说它们是正规且直交.
: 证明对v属於V, <v,v1>v1 + <v,v2>v2 + .... + <v,vn>vn
: 是在span(v1,v2.....vn) 上到v最近的那一点
: 麻烦解题了 毫无想法阿 感谢!!
Pf Extend {v_1 , ... , v_n } to an orthonormal basis for V :
{v_1 , ... , v_n , ... , v_m}. This can be done by Gram-Schmidt Process.
Then if v is in V , v= Sum(i=1~m)(c_i v_i).
<v_j,v> = c_j|v_j|^2 = c_j and thus v= Sum(i=1~m)(<v,v_i> v_i).
Now consider any arbitrary vector w = Sum(i=1~n)(d_i v_i) in Span({v_j}:j=1-n)
Compute | w - v |^2 =Sum(i=1~n)(d_i -c_i)^2 +Sum(i=n+1~m)(c_i)^2
≧ 0 +Sum(i=n+1~m)(c_i)^2
The equality holds iff d_i = c_i for all i ,
i.e., the minimum occurs at w = Sum(i=1~n)(<v,v_i> v_i) Q.E.D.
____________________________________________________________________________
其实可以用三维的去想，把V看成三维，Span(vi)看成二维。题目就变成是任何一个向量
到平面上最段距离当然就是跟正射影的距离，三维的证明很简单，基本上就是考虑一个
任意在平面上的向量w到v的距离，只要用直角三角形的斜边大於高就可以证明了。
这个高维度的证明只是三维的复制版。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.217.1
※ 编辑: iamwjy 来自: 140.112.217.1 (06/23 07:16)