作者handsboy (夠夠拋兒瑞久)
看板Math
標題[複變] 主值積分
時間Fri Jun 17 21:32:15 2011
題目是
0 dx
∫ {─────────}
-∞ 2 2
(x - 2x +1)(x + 1)
Find the principal value.
我的想法是因為它是偶函數
所以 -∞~0的積分值是 -∞~∞的一半
然後分母的poles 為 1 , i , -i
然後帶入這個公式
∞
pr.v. ∫ f(x)dx = 2πi ΣRes f(z) + πi ΣRex f(z)
-∞
最後一項的極點是代入在real axis的極點 ( z=1)
第一項的極點是代入在上半平面的極點 (z = i)
然後算出來積分值是零 = =
算式如下:
1
z=1 , Res f(z) = [(────)']
z=1 (x^2+1) z=1
-2x
= [─────]
(x^2+1)^2 z=1
= -0.5
1
z=i, Res f(z) = [───────]
z=i (x-1)^2 *(x+i) z=i
1
= ───────
(i-1)^2 * (2i)
1
= ──── = 0.25
(-2i)(2i)
在代入公式內
∞
pr.v. ∫ f(x)dx = 2πi ΣRes f(z) + πi ΣRex f(z)
-∞
= 2πi*ΣRes f(z) + πi*ΣRex f(z)
z=i z=1
= 2πi * 0.25 + πi * (-0.5)
= 0
因為這題期末考好像會考
可是又沒有人跟我對答案QQ
有高手可以幫我看看有沒有寫錯的地方嗎
感恩
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.118.176
1F：→ Vulpix :首先一開始就不是偶函數了…… 06/17 21:37
2F：→ Vulpix :再說，這個積分也沒有sing. pt.，分項積分才是上策？ 06/17 21:39
3F：→ handsboy :singular point 不是會使分母為零的點嗎 06/17 21:46
4F：→ a016258 :變數變換感覺不難做~ 06/17 21:52
5F：推 endlesschaos:第一部就錯了 所以後面當然全錯 請愛用小精靈積分 06/17 22:06
6F：→ handsboy :因為期末考範圍是複變 不知道有沒有複變的解法 = = 06/17 22:26
7F：→ doom8199 :常見的做法是考慮 f(z) = ln(z)/[(z^2+1)(z-1)^2] 06/17 23:05
8F：→ doom8199 :然後 contour 考慮一整個圓 ...若你想用複變算的話XD 06/17 23:06
9F：推 G41271 :你可以先分開再用複遍 06/17 23:09