作者handsboy (够够抛儿瑞久)
看板Math
标题[复变] 主值积分
时间Fri Jun 17 21:32:15 2011
题目是
0 dx
∫ {─────────}
-∞ 2 2
(x - 2x +1)(x + 1)
Find the principal value.
我的想法是因为它是偶函数
所以 -∞~0的积分值是 -∞~∞的一半
然後分母的poles 为 1 , i , -i
然後带入这个公式
∞
pr.v. ∫ f(x)dx = 2πi ΣRes f(z) + πi ΣRex f(z)
-∞
最後一项的极点是代入在real axis的极点 ( z=1)
第一项的极点是代入在上半平面的极点 (z = i)
然後算出来积分值是零 = =
算式如下:
1
z=1 , Res f(z) = [(────)']
z=1 (x^2+1) z=1
-2x
= [─────]
(x^2+1)^2 z=1
= -0.5
1
z=i, Res f(z) = [───────]
z=i (x-1)^2 *(x+i) z=i
1
= ───────
(i-1)^2 * (2i)
1
= ──── = 0.25
(-2i)(2i)
在代入公式内
∞
pr.v. ∫ f(x)dx = 2πi ΣRes f(z) + πi ΣRex f(z)
-∞
= 2πi*ΣRes f(z) + πi*ΣRex f(z)
z=i z=1
= 2πi * 0.25 + πi * (-0.5)
= 0
因为这题期末考好像会考
可是又没有人跟我对答案QQ
有高手可以帮我看看有没有写错的地方吗
感恩
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.118.176
1F：→ Vulpix :首先一开始就不是偶函数了…… 06/17 21:37
2F：→ Vulpix :再说，这个积分也没有sing. pt.，分项积分才是上策？ 06/17 21:39
3F：→ handsboy :singular point 不是会使分母为零的点吗 06/17 21:46
4F：→ a016258 :变数变换感觉不难做~ 06/17 21:52
5F：推 endlesschaos:第一部就错了 所以後面当然全错 请爱用小精灵积分 06/17 22:06
6F：→ handsboy :因为期末考范围是复变 不知道有没有复变的解法 = = 06/17 22:26
7F：→ doom8199 :常见的做法是考虑 f(z) = ln(z)/[(z^2+1)(z-1)^2] 06/17 23:05
8F：→ doom8199 :然後 contour 考虑一整个圆 ...若你想用复变算的话XD 06/17 23:06
9F：推 G41271 :你可以先分开再用复遍 06/17 23:09