※ 引述《kane950544 (老伯公)》之銘言： : 極座標圖形的面積公式 : A=0.5∫r(θ)^2 dθ : 我自己亂類比出弧長S=∫r(θ) dθ : 這個結果是錯的 應該要利用全微分做出 (x')^2+(y')^2=r^2+(dr/dθ)^2 : 再代到參數那個公式裡面 : 不過我還是覺得S=∫r(θ) dθ很直覺阿~ = ="" : 面積公式是利用小塊小塊的面積元素 dA=0.5*r^2 dθ : 不能利用小段小段的弧長元素 ds= rdθ 嗎 : 哪裡出問題了呢 : -------------------------------------------------- 事情是這樣的 你在做逼近的時候 不管是面積也好 弧長也好 都是先在定義域取離散點 然後把這些點的函數值用理想曲線(一般是直線)分段連起來 算這個理想狀態的值 然後再把離散點越取越密得到極限 用在面積上就是 梯形法(理想曲線=直線) 或辛普森法(理想曲線=拋物線) 那你可能會說 咦奇怪 為什麼一開始學積分的時候要用矩形 喔 這是因為雖然矩形的誤差比較大 但是運氣很好他剛剛好也會收斂到同樣的極限 再來一個原因就是計算方便這樣 但如果把矩形搬去算弧長就會吃鱉了 因為 不管你怎麼細分 他 taxicab distance 的總和永遠是定值 根本沒有逼近的效果 於是我們終於知道 把端點連起來才是安全感的保證 所以才有那個 ds^2 = dx^2 + dy^2 他就是分段直線的長度總和 極座標也是一樣滴 算面積的時候 r(θ)^2 dθ 雖然不夠精確 但是剛剛好夠用 算弧長的時候 用 r(θ) dθ 就出代誌啦 因為你沒辦法把分段理想曲線頭尾連在一起 導致你想要逼近的曲線 總是很討厭地永遠跟你的理想曲線差一個傾斜角 註定了你無法避免那個傾斜角所造成的比例縮小 要解決這個問題的方法之一 就是把理想曲線取成連接兩離散點的直線 於是你有一個三角形 邊長分別為 r, r+dr, ds 其中 ds 是 dθ 對應的邊長 BY 餘弦定理 ds^2 = r^2 + (r+dr)^2 - 2r(r+dr)cos(dθ) 注意到 cos(dθ)=1-(dθ)^2/2 + higher terms 代入整理得 ds^2 = dr^2 + r^2 dθ^2 + rdrdθ^2 + higher terms = dr^2 + r^2 dθ^2 + higher terms 這裡 higher terms 就是作積分的時候毫無貢獻的那些傢伙 不同的逼近法之所以會跑出同樣的極限 就是因為 他們除了 higher terms 以外的部份都相等 所以實際上你作的是 √[dr^2 + r^2 dθ^2] 的積分 雖然經過了開根號的程序 不過你可以驗證一下他不會影響 higher terms 以外的部份 當然你用 x,y 座標來做也會得到同樣結果 --

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