※ 引述《kane950544 (老伯公)》之铭言： : 极座标图形的面积公式 : A=0.5∫r(θ)^2 dθ : 我自己乱类比出弧长S=∫r(θ) dθ : 这个结果是错的 应该要利用全微分做出 (x')^2+(y')^2=r^2+(dr/dθ)^2 : 再代到参数那个公式里面 : 不过我还是觉得S=∫r(θ) dθ很直觉阿~ = ="" : 面积公式是利用小块小块的面积元素 dA=0.5*r^2 dθ : 不能利用小段小段的弧长元素 ds= rdθ 吗 : 哪里出问题了呢 : -------------------------------------------------- 事情是这样的 你在做逼近的时候 不管是面积也好 弧长也好 都是先在定义域取离散点 然後把这些点的函数值用理想曲线(一般是直线)分段连起来 算这个理想状态的值 然後再把离散点越取越密得到极限 用在面积上就是 梯形法(理想曲线=直线) 或辛普森法(理想曲线=抛物线) 那你可能会说 咦奇怪 为什麽一开始学积分的时候要用矩形 喔 这是因为虽然矩形的误差比较大 但是运气很好他刚刚好也会收敛到同样的极限 再来一个原因就是计算方便这样 但如果把矩形搬去算弧长就会吃鳖了 因为 不管你怎麽细分 他 taxicab distance 的总和永远是定值 根本没有逼近的效果 於是我们终於知道 把端点连起来才是安全感的保证 所以才有那个 ds^2 = dx^2 + dy^2 他就是分段直线的长度总和 极座标也是一样滴 算面积的时候 r(θ)^2 dθ 虽然不够精确 但是刚刚好够用 算弧长的时候 用 r(θ) dθ 就出代志啦 因为你没办法把分段理想曲线头尾连在一起 导致你想要逼近的曲线 总是很讨厌地永远跟你的理想曲线差一个倾斜角 注定了你无法避免那个倾斜角所造成的比例缩小 要解决这个问题的方法之一 就是把理想曲线取成连接两离散点的直线 於是你有一个三角形 边长分别为 r, r+dr, ds 其中 ds 是 dθ 对应的边长 BY 余弦定理 ds^2 = r^2 + (r+dr)^2 - 2r(r+dr)cos(dθ) 注意到 cos(dθ)=1-(dθ)^2/2 + higher terms 代入整理得 ds^2 = dr^2 + r^2 dθ^2 + rdrdθ^2 + higher terms = dr^2 + r^2 dθ^2 + higher terms 这里 higher terms 就是作积分的时候毫无贡献的那些家伙 不同的逼近法之所以会跑出同样的极限 就是因为 他们除了 higher terms 以外的部份都相等 所以实际上你作的是 √[dr^2 + r^2 dθ^2] 的积分 虽然经过了开根号的程序 不过你可以验证一下他不会影响 higher terms 以外的部份 当然你用 x,y 座标来做也会得到同样结果 --

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