作者Justin258 (Justin)
看板Math
標題[機統] continuous expectations and variances
時間Sun Jun 12 10:06:05 2011
定義出自 Saeed Ghahramani的機率課本 (閃電本) p.249
Theorem 6.2
For any continuous random variable X with probability distribution function
F and density function f,
∞ ∞
E(X) = ∫ [1 - F(t)] dt － ∫ F(-t) dt.
0 0
Proof: Note that
∞ 0 ∞
E(X) = ∫ xf(x) dx = ∫ xf(x) dx + ∫ xf(x) dx
-∞ -∞ 0
0
-x ∞
x
= -∫
(∫ dt)f(x) dx + ∫
(∫ dt)f(x) dx equation(1)
-∞
0 0
0
∞ -t ∞ ∞
= -∫ (∫ f(x)dx) dt + ∫ (∫ f(x)dx) dt equation(2)
0 -∞ 0 t
where the last equality is obtained by changing the order of integration.
The theorem follows since
-t ∞
∫ f(x) dx = F(-t) and ∫f(x) dx = P(X > t) = 1 - F(t). (Proved!)
-∞ t
最後一行得證，是由 density function 的properties積分變成distribution的定義
去得到，這樣理解不知道有沒有錯？
主要想請問的是黃色的公式
-x x
Q1 期望值的xf(x)為什麼兩個x要換成 ∫ dt, ∫ dt 呢？ 這個∫ dt 代表的意義是?
0 0
Q2 equation (1) 是怎麼轉換成 equation (2)的呢？
Q3 這邊的
積分範圍 &
t 所代表的分別是什麼呢？
（自己的理解是，t為random variable X中某一點的位置，不過整個公式一起看
覺得自己並無法將整個公式的意義解釋清楚）
感謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.68.146
1F：推 ericabab :1.不是xf(x)變∫ dt，是只有x變∫ dt 06/12 10:30
2F：→ ericabab :(1)到(2)只是積分變數順序交換而已 06/12 10:30
※ 編輯: Justin258 來自: 140.113.68.146 (06/12 12:25)
3F：→ Justin258 :修改了一下，其實是想問 為什麼x會變 ∫ dt 06/12 12:26
4F：→ Justin258 :積分順序交換，積分的上界下界怎麼變成∞和t的呢？ 06/12 12:27
5F：→ ericabab :上下界的問題你可以畫圖去看x跟t的二維範圍 06/12 13:46
6F：→ ericabab :你把∫ dt算出來就是x呀... 06/12 13:56
7F：→ Justin258 :覺得如果自己從頭推，∫ dt這步不怎麼直覺 06/12 13:58
8F：→ Justin258 :想說會不會有什麼特殊的含意或意義在 06/12 13:58
9F：→ Justin258 :我在研究一下.. 謝謝e大! 06/12 13:59
10F：→ THEJOY :為了把難積分xf(x)變成f(x)，所以把積分變重積分 06/12 15:11
11F：→ THEJOY :之後使用Tonelli-Fubini定理，把積分互換 06/12 15:12
13F：→ Justin258 :自己畫了兩張圖，不知道概念是否正確？ 06/14 00:12
14F：→ Justin258 :圖畫得很粗糙還請見諒 m(_ _)m 06/14 00:13
15F：→ Justin258 :因為前項之雙重積分前面都有負號，所以積分範圍在 06/14 00:14
16F：→ Justin258 :X軸之下 (個人的理解是這樣) 06/14 00:14