作者Justin258 (Justin)
看板Math
标题[机统] continuous expectations and variances
时间Sun Jun 12 10:06:05 2011
定义出自 Saeed Ghahramani的机率课本 (闪电本) p.249
Theorem 6.2
For any continuous random variable X with probability distribution function
F and density function f,
∞ ∞
E(X) = ∫ [1 - F(t)] dt － ∫ F(-t) dt.
0 0
Proof: Note that
∞ 0 ∞
E(X) = ∫ xf(x) dx = ∫ xf(x) dx + ∫ xf(x) dx
-∞ -∞ 0
0
-x ∞
x
= -∫
(∫ dt)f(x) dx + ∫
(∫ dt)f(x) dx equation(1)
-∞
0 0
0
∞ -t ∞ ∞
= -∫ (∫ f(x)dx) dt + ∫ (∫ f(x)dx) dt equation(2)
0 -∞ 0 t
where the last equality is obtained by changing the order of integration.
The theorem follows since
-t ∞
∫ f(x) dx = F(-t) and ∫f(x) dx = P(X > t) = 1 - F(t). (Proved!)
-∞ t
最後一行得证，是由 density function 的properties积分变成distribution的定义
去得到，这样理解不知道有没有错？
主要想请问的是黄色的公式
-x x
Q1 期望值的xf(x)为什麽两个x要换成 ∫ dt, ∫ dt 呢？ 这个∫ dt 代表的意义是?
0 0
Q2 equation (1) 是怎麽转换成 equation (2)的呢？
Q3 这边的
积分范围 &
t 所代表的分别是什麽呢？
（自己的理解是，t为random variable X中某一点的位置，不过整个公式一起看
觉得自己并无法将整个公式的意义解释清楚）
感谢
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.68.146
1F：推 ericabab :1.不是xf(x)变∫ dt，是只有x变∫ dt 06/12 10:30
2F：→ ericabab :(1)到(2)只是积分变数顺序交换而已 06/12 10:30
※ 编辑: Justin258 来自: 140.113.68.146 (06/12 12:25)
3F：→ Justin258 :修改了一下，其实是想问 为什麽x会变 ∫ dt 06/12 12:26
4F：→ Justin258 :积分顺序交换，积分的上界下界怎麽变成∞和t的呢？ 06/12 12:27
5F：→ ericabab :上下界的问题你可以画图去看x跟t的二维范围 06/12 13:46
6F：→ ericabab :你把∫ dt算出来就是x呀... 06/12 13:56
7F：→ Justin258 :觉得如果自己从头推，∫ dt这步不怎麽直觉 06/12 13:58
8F：→ Justin258 :想说会不会有什麽特殊的含意或意义在 06/12 13:58
9F：→ Justin258 :我在研究一下.. 谢谢e大! 06/12 13:59
10F：→ THEJOY :为了把难积分xf(x)变成f(x)，所以把积分变重积分 06/12 15:11
11F：→ THEJOY :之後使用Tonelli-Fubini定理，把积分互换 06/12 15:12
13F：→ Justin258 :自己画了两张图，不知道概念是否正确？ 06/14 00:12
14F：→ Justin258 :图画得很粗糙还请见谅 m(_ _)m 06/14 00:13
15F：→ Justin258 :因为前项之双重积分前面都有负号，所以积分范围在 06/14 00:14
16F：→ Justin258 :X轴之下 (个人的理解是这样) 06/14 00:14