※ 引述《stevelu (餅乾)》之銘言： : ※ 引述《calculusbat (Renew)》之銘言： : : 試導出下面等式 : : ∞ -at x -x^2 -x(2a)^(1/2) : : ∫ e ----------------- exp(-------) dt = e : : 0 t(2πt)^(1/2) 2t : : 這題想了很久，還是不知道怎麼做... : : 希望板上高手可以教一下 : : 謝謝 : ∞ -at x -x^2 : ∫ e ----------------- exp(-------) dt = : 0 t(2πt)^(1/2) 2t - d ∞ -at 1 -x^2 ---- ∫ e --------------- exp(-------) dt = ＊ dx 0 (2πt)^(1/2) 2t : (抱歉實在不太會打算式= =) : http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform : 接下來就是用傅立葉轉換 : 上面那個維基網站中有個表 square integrable functions : 先用206把積分中的高斯分部用他的inverse FT表示 : 你會發現exp()裡面的 t 跑到分子了 : 現在整個積分是個雙重積分 : 然後先對t做積分 : 積出來會有一個 1/(2a + w^2) 項 : 再用同表格裡的207 對w積分 : 最後再對x做個微分就結束了 : 不過這裡x好像要令為正數 : 因為你可以看到207式的函數是exp(-a|x|) 有個絕對值 : 試試看吧~ 嗯,用機率的c.f.:C[]或m.g.f.:M[]來解釋好了 1 -x^2 令 f(x;σ^2=t) = -------- exp(------), that is, f is pdf of some normal dis. √(2πt) 2t 設 ∞ L(a;x) = ∫a˙exp(-at)f(x;t)dt ( 謎之音, L是... ) ０ 對L的x變數求c.f.或m.g.f., 形式如下 ∞ ∞ ∞ C [L(a;x)] = ∫exp(isx)L(a;x)dx = ∫a˙exp(-at)[∫exp(isx)f(x;t)dx]dt X -∞ ０ -∞ 或者 ∞ ∞ ∞ M [L(a;x)] = ∫exp(sx)L(a;x)dx = ∫a˙exp(-at)[∫exp(sx)f(x;t)dx]dt X -∞ ０ -∞ 因為Normal dis.的c.f.為exp(iμs-σ^2s^2/2)及m.g.f.為exp(μs+σ^2s^2/2) http://en.wikipedia.org/wiki /Normal_distribution#Characteristic_function_and_moment_generating_function 所以 ∞ ∞ C [L(a;x)]=∫a˙exp(-at)exp(-t˙s^2/2)dt =∫a˙exp[-t(a+s^2/2)]dt = a/(a+s^2/2) X ０ ０ 及 ∞ ∞ M [L(a;x)]=∫a˙exp(-at)exp(t˙s^2/2)dt =∫a˙exp[-t(a-s^2/2)]dt = a/(a-s^2/2) X ０ ０ 考慮Laplace dis.的c.f.為exp(iμs)/(1+b^2s^2)及m.g.f為exp(μs)/(1-b^2s^2) http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution 因此 L(a;x)為某個Laplace dis.的pdf. that is L(a;x) = √(a/2)˙exp[-|x|√(2a)] 當 x≠0 時 -d -- L(a;x) = a˙exp[-|x|√(2a)]˙sgn(x) dx http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function 且當x=0時，L(a;x)對x的導數不存在 而題目所求即為 -d 1 ＊ = -- - L(a;x) = exp[-|x|√(2a)]˙sgn(x) dx a -- ～by Jackary P.～ --

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