※ 引述《stevelu (饼乾)》之铭言： : ※ 引述《calculusbat (Renew)》之铭言： : : 试导出下面等式 : : ∞ -at x -x^2 -x(2a)^(1/2) : : ∫ e ----------------- exp(-------) dt = e : : 0 t(2πt)^(1/2) 2t : : 这题想了很久，还是不知道怎麽做... : : 希望板上高手可以教一下 : : 谢谢 : ∞ -at x -x^2 : ∫ e ----------------- exp(-------) dt = : 0 t(2πt)^(1/2) 2t - d ∞ -at 1 -x^2 ---- ∫ e --------------- exp(-------) dt = ＊ dx 0 (2πt)^(1/2) 2t : (抱歉实在不太会打算式= =) : http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform : 接下来就是用傅立叶转换 : 上面那个维基网站中有个表 square integrable functions : 先用206把积分中的高斯分部用他的inverse FT表示 : 你会发现exp()里面的 t 跑到分子了 : 现在整个积分是个双重积分 : 然後先对t做积分 : 积出来会有一个 1/(2a + w^2) 项 : 再用同表格里的207 对w积分 : 最後再对x做个微分就结束了 : 不过这里x好像要令为正数 : 因为你可以看到207式的函数是exp(-a|x|) 有个绝对值 : 试试看吧~ 嗯,用机率的c.f.:C[]或m.g.f.:M[]来解释好了 1 -x^2 令 f(x;σ^2=t) = -------- exp(------), that is, f is pdf of some normal dis. √(2πt) 2t 设 ∞ L(a;x) = ∫a˙exp(-at)f(x;t)dt ( 谜之音, L是... ) ０ 对L的x变数求c.f.或m.g.f., 形式如下 ∞ ∞ ∞ C [L(a;x)] = ∫exp(isx)L(a;x)dx = ∫a˙exp(-at)[∫exp(isx)f(x;t)dx]dt X -∞ ０ -∞ 或者 ∞ ∞ ∞ M [L(a;x)] = ∫exp(sx)L(a;x)dx = ∫a˙exp(-at)[∫exp(sx)f(x;t)dx]dt X -∞ ０ -∞ 因为Normal dis.的c.f.为exp(iμs-σ^2s^2/2)及m.g.f.为exp(μs+σ^2s^2/2) http://en.wikipedia.org/wiki /Normal_distribution#Characteristic_function_and_moment_generating_function 所以 ∞ ∞ C [L(a;x)]=∫a˙exp(-at)exp(-t˙s^2/2)dt =∫a˙exp[-t(a+s^2/2)]dt = a/(a+s^2/2) X ０ ０ 及 ∞ ∞ M [L(a;x)]=∫a˙exp(-at)exp(t˙s^2/2)dt =∫a˙exp[-t(a-s^2/2)]dt = a/(a-s^2/2) X ０ ０ 考虑Laplace dis.的c.f.为exp(iμs)/(1+b^2s^2)及m.g.f为exp(μs)/(1-b^2s^2) http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution 因此 L(a;x)为某个Laplace dis.的pdf. that is L(a;x) = √(a/2)˙exp[-|x|√(2a)] 当 x≠0 时 -d -- L(a;x) = a˙exp[-|x|√(2a)]˙sgn(x) dx http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function 且当x=0时，L(a;x)对x的导数不存在 而题目所求即为 -d 1 ＊ = -- - L(a;x) = exp[-|x|√(2a)]˙sgn(x) dx a -- ～by Jackary P.～ --

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