※ 引述《clawer (爪爪)》之銘言： : 最近看了兩本環論的書 : 作者分別是T.Y.Lam跟P.M. Cohn : 他們的環定義上都是有1的 : 但是比較早期一點 : 像是Herstein跟McCoy的書則沒有這樣做 : 學校老師上課也是選擇從沒有1的環出發 : 我心理的問題是 : 為什麼現在看到的書中 : 環的定義似乎都有1? : 我認為應該不只是有了1就比較簡單XD : 代數課有學過環都可以塞到一個有1的環裡面 : 不過我不確定這是否可以扯上關連(我有點駑鈍抱歉..) : 是否在透過某個途徑下 : 大多沒有1的環都可以透過有1的環的處理方法來做一樣的問題? : 衍伸的問題 像是看到Jacobson radical的幾個等價定義 : 有沒有1的環好像都"稍微"不同? : 感謝各位能夠提供我協助 : 非常謝謝! 1. 在你理論面讀得很起勁的時候, 千萬不要忘記實例. 人類發明環論是為了處理手上活生生的問題, 而不是突發奇想蓋一個空中樓閣, 發明一個理論來討論"不知道是什麼的環" 從 formal definition 出發瞭解環, 我認為是倒果為因 是因為數學家在解決問題的同時, 體會到了該結構共有的潛在特性, 嘗試把他寫下來才有了 formal definition 2. Unital ring 的重要實例如下: 1829 Gaussian Integers Z[i] 1843 Hamilton quaternion 1855 Matrix ring 1870 Polynomial ring -------------------- 1914 Fraenkel 給了 ring 的定義 這幾十年的發展中, ring 都是自然要有 1 的, (注意到即使他們都有 1, 交換與否對於那些環的結構差異甚大) 3. Non-unital ring (或有人稱 rng: ring without identity....) 這部份的歷史我沒有那麼熟, 就我所知他有用的地方就是 functional analysis, 大概 1930 以後才開始發展 所以雖然都在同一個大纛 (ring) 底下, 發展理論的目的差距很大. 雖然 rng 都可以 embed 到 ring 中, 但是我很懷疑這能有什麼用 (有專家可以說明嗎?) 另外, 許多 ring 上的定義(如你所說的 Jacobson radical), 在 rng 上的定義 略有不同, 仔細一看可以知道他們大多是要排除一些特例, 沒什麼了不起的 4. 打個比方, 我們知道 group without 1 叫做 semigroup 我們不會去爭辯 semigroup 才應該叫做 group 也不會去想說 "把 semigroup 塞到 group " 來 "處理" semigroup 回歸基本面, 如果你要從 rng 開始學, 我想最重要的就是知道 rng 的重要例子 (撇除很白痴的 2Z ... etc) 然後知道把 1 拿掉, 在泛函分析上對你有什麼好處 -- 「小孩子讀什麼老人與海？魚都被吃光了，那個老人是笨蛋嗎，只剩個魚頭也還硬要拖 回岸上。小孩子讀什麼白鯨記？不過是一條魚，那個船長是白痴嗎，為了一條魚把大家的 生命都賭進去。」 「過程比結果重要，教官總是這樣說。雖然我們心知肚明，沒有人能這樣這麼豁達。但 是結果既然不可控制，那至少不要讓自己後悔。」 --

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