※ 引述《clawer (爪爪)》之铭言： : 最近看了两本环论的书 : 作者分别是T.Y.Lam跟P.M. Cohn : 他们的环定义上都是有1的 : 但是比较早期一点 : 像是Herstein跟McCoy的书则没有这样做 : 学校老师上课也是选择从没有1的环出发 : 我心理的问题是 : 为什麽现在看到的书中 : 环的定义似乎都有1? : 我认为应该不只是有了1就比较简单XD : 代数课有学过环都可以塞到一个有1的环里面 : 不过我不确定这是否可以扯上关连(我有点驽钝抱歉..) : 是否在透过某个途径下 : 大多没有1的环都可以透过有1的环的处理方法来做一样的问题? : 衍伸的问题 像是看到Jacobson radical的几个等价定义 : 有没有1的环好像都"稍微"不同? : 感谢各位能够提供我协助 : 非常谢谢! 1. 在你理论面读得很起劲的时候, 千万不要忘记实例. 人类发明环论是为了处理手上活生生的问题, 而不是突发奇想盖一个空中楼阁, 发明一个理论来讨论"不知道是什麽的环" 从 formal definition 出发了解环, 我认为是倒果为因 是因为数学家在解决问题的同时, 体会到了该结构共有的潜在特性, 尝试把他写下来才有了 formal definition 2. Unital ring 的重要实例如下: 1829 Gaussian Integers Z[i] 1843 Hamilton quaternion 1855 Matrix ring 1870 Polynomial ring -------------------- 1914 Fraenkel 给了 ring 的定义 这几十年的发展中, ring 都是自然要有 1 的, (注意到即使他们都有 1, 交换与否对於那些环的结构差异甚大) 3. Non-unital ring (或有人称 rng: ring without identity....) 这部份的历史我没有那麽熟, 就我所知他有用的地方就是 functional analysis, 大概 1930 以後才开始发展 所以虽然都在同一个大纛 (ring) 底下, 发展理论的目的差距很大. 虽然 rng 都可以 embed 到 ring 中, 但是我很怀疑这能有什麽用 (有专家可以说明吗?) 另外, 许多 ring 上的定义(如你所说的 Jacobson radical), 在 rng 上的定义 略有不同, 仔细一看可以知道他们大多是要排除一些特例, 没什麽了不起的 4. 打个比方, 我们知道 group without 1 叫做 semigroup 我们不会去争辩 semigroup 才应该叫做 group 也不会去想说 "把 semigroup 塞到 group " 来 "处理" semigroup 回归基本面, 如果你要从 rng 开始学, 我想最重要的就是知道 rng 的重要例子 (撇除很白痴的 2Z ... etc) 然後知道把 1 拿掉, 在泛函分析上对你有什麽好处 -- 「小孩子读什麽老人与海？鱼都被吃光了，那个老人是笨蛋吗，只剩个鱼头也还硬要拖 回岸上。小孩子读什麽白鲸记？不过是一条鱼，那个船长是白痴吗，为了一条鱼把大家的 生命都赌进去。」 「过程比结果重要，教官总是这样说。虽然我们心知肚明，没有人能这样这麽豁达。但 是结果既然不可控制，那至少不要让自己後悔。」 --

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