作者andy2007 (...)
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標題[微積] 可微分性的充分條件
時間Sun May 22 23:16:07 2011
各位前輩好，今日又要來麻煩各位前輩了
課本中有段句子看不怎麼懂，想請各位前輩們指點。
Larson 8th 微積分的 Section 13.4 Differentials 提到：
However, for a function of two variables, the extstence of
the partial derivatives fx and fy does not guaratee that
the function is differentiable.
( 雙變數函數存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保證這個雙變數函數是可微分的 )
之後課本寫到
The following theorem gives a sufficient condtion for
differentiably of a function of two variables.
==
Theorem 13.4 Sufficient Condition for Differentiability
If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous
in an open region R, then f is differentiable on R.
這定理是「可微分性的充分條件」
充分條件的定義為：
如果Ａ為前項，Ｂ為後項，則：有Ａ一定有Ｂ，但沒有Ａ則不一定有Ｂ（或沒有Ｂ）
這個定理的前項是
If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous
in an open region R
後項是
than f is differentiable on R
如果有「f(x,y), fx and fy are continuous in an open region R」
那就一定有「f is differentiable on R」
那課本在之前所說的：
( 雙變數函數存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保證這個雙變數函數是可微分的 )
不就很奇怪嗎？
========================
如果fx、fy偏微分存在
不也就代表了fx and fy are continuous in an open region R
那這樣不就一定會「f is differentiable on R」
怎麼又「不能」保證這個雙變數函數是可微分的？
如果不能保證，那充分條件又怎麼能成立呢？
不知道各位前輩們了不了解我的問題在哪，表達能力不太好 Orz
希望前輩們能替我指點迷津，再次感謝您們～
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
1F：→ THEJOY :fx,fy不見得連續 05/22 23:21
2F：→ andy2007 :但是偏微分存在，不就代表連續嗎？ 05/22 23:30
3F：→ mk426375 :偏微分的存在跟原函數或偏微分的連續皆無關 05/22 23:32
4F：推 mk426375 :多變數函數的連續是要對任何走到該點的路徑都連續， 05/22 23:36
5F：→ andy2007 :感謝兩位前輩，我在陳立的微積分書籍看到了 05/22 23:36
6F：→ mk426375 :而偏微分只討論"沿著平行某條座標軸的路徑"的情況 05/22 23:37
7F：→ andy2007 :fx(a,b)、fy(a,b)存在，不一定f(x,y)在(a,b)可微分 05/22 23:38
8F：→ andy2007 :f(x,y)在(a,b)可微分，一定fx(a,b)、fy(a,b)存在 05/22 23:39
9F：→ andy2007 :所以說這個定理主要是要強調 05/22 23:40
10F：→ andy2007 :fx and fy are continuous，除了fx fx存在以外， 05/22 23:40
11F：→ andy2007 :還要在開區間中連續，這樣 f 才可以微分是嗎？ 05/22 23:41
12F：→ andy2007 :應該是說除了fx fy存在以外，f要在開區間中連續 05/22 23:43
13F：推 mk426375 :原文的意思就是兩個一階偏微分連續啊... 05/22 23:44
14F：→ andy2007 :喔喔，原來是兩個一階偏微分連續 05/22 23:46
15F：→ andy2007 :兩個一階偏微分存在，有可能兩個一階偏微分不連續嗎 05/22 23:47
16F：推 mk426375 :For example, f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)). 05/22 23:49
17F：→ mk426375 :check if fx and fy exist and if f is cont.at(0,0) 05/22 23:52
18F：→ mk426375 :更正，上面的函數定義在(x,y)≠(0,0), f(0,0)=0 05/22 23:53
19F：→ andy2007 :原來如此，我一直把偏微分存在 = 偏微分連續 05/22 23:54
20F：→ andy2007 :這兩個不同的想法混為一談，真是大錯特錯Orz 05/22 23:57
21F：→ andy2007 :再次感謝mk426375前輩～ 05/23 00:00
22F：推 jollic :沒人注意到"than"嗎 XDDDD 05/23 00:11
23F：推 peicachu :我只發現有一些英文單字打錯XD 05/23 00:18
※ 編輯: andy2007 來自: 140.125.169.71 (05/23 10:21)
24F：→ andy2007 :尷尬！趕緊改回來 05/23 10:22
26F：→ andy2007 :不好意思再問個問題：定義所說的 fx and fy are 05/23 14:00
27F：→ andy2007 :continuous in an open region R 的意思是 05/23 14:01
28F：→ andy2007 :fx和fy要在開區間中連續，這裡的意思是二階偏微分要 05/23 14:01
29F：→ andy2007 :存在，fxy(x,y) = fyx(x,y) 是嗎？ 05/23 14:04
30F：→ andy2007 :或是說只要fx、fy極限值等於fx、fy函數值就可以了？ 05/23 14:06
31F：→ andy2007 :找到答案了，fx、fy在開區間中的任意(a,b)點 05/23 14:18
32F：→ andy2007 :極限值等於函數值，就是fx、fy連續了 05/23 14:18
33F：→ andy2007 :感覺好像又有錯誤，極限存在不一定連續，但是可微分 05/23 14:36
34F：→ andy2007 :就一定連續，所以應該是fxy(x,y) = fyx(x,y)才對 05/23 14:37
35F：推 mk426375 :極限值等於該點函數值就是連續了 05/23 14:46
36F：→ andy2007 :謝謝前輩，但是極限存在不一定連續，是否要把這種 05/23 14:49
37F：→ andy2007 :情況排除掉比較好呢？ 05/23 14:50
38F：推 endlesschaos:為什麼f(a,b)可微分 fx(a,b)或fy(a,b)不一定存在？ 05/23 15:29
39F：→ endlesschaos:fx(a,b)和fy(a,b)不就是f(a,b)沿著 x = c 或 y = c的 05/23 15:30
40F：→ endlesschaos:方向微分的值嗎？既然各個方向都連續可微 沒道理偏x 05/23 15:30
41F：→ endlesschaos:和偏y不存在吧 05/23 15:30
42F：→ endlesschaos:歹勢看錯行 多看了一個「不」字 05/23 15:31