作者andy2007 (...)
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标题[微积] 可微分性的充分条件
时间Sun May 22 23:16:07 2011
各位前辈好，今日又要来麻烦各位前辈了
课本中有段句子看不怎麽懂，想请各位前辈们指点。
Larson 8th 微积分的 Section 13.4 Differentials 提到：
However, for a function of two variables, the extstence of
the partial derivatives fx and fy does not guaratee that
the function is differentiable.
( 双变数函数存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保证这个双变数函数是可微分的 )
之後课本写到
The following theorem gives a sufficient condtion for
differentiably of a function of two variables.
==
Theorem 13.4 Sufficient Condition for Differentiability
If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous
in an open region R, then f is differentiable on R.
这定理是「可微分性的充分条件」
充分条件的定义为：
如果Ａ为前项，Ｂ为後项，则：有Ａ一定有Ｂ，但没有Ａ则不一定有Ｂ（或没有Ｂ）
这个定理的前项是
If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous
in an open region R
後项是
than f is differentiable on R
如果有「f(x,y), fx and fy are continuous in an open region R」
那就一定有「f is differentiable on R」
那课本在之前所说的：
( 双变数函数存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保证这个双变数函数是可微分的 )
不就很奇怪吗？
========================
如果fx、fy偏微分存在
不也就代表了fx and fy are continuous in an open region R
那这样不就一定会「f is differentiable on R」
怎麽又「不能」保证这个双变数函数是可微分的？
如果不能保证，那充分条件又怎麽能成立呢？
不知道各位前辈们了不了解我的问题在哪，表达能力不太好 Orz
希望前辈们能替我指点迷津，再次感谢您们～
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
1F：→ THEJOY :fx,fy不见得连续 05/22 23:21
2F：→ andy2007 :但是偏微分存在，不就代表连续吗？ 05/22 23:30
3F：→ mk426375 :偏微分的存在跟原函数或偏微分的连续皆无关 05/22 23:32
4F：推 mk426375 :多变数函数的连续是要对任何走到该点的路径都连续， 05/22 23:36
5F：→ andy2007 :感谢两位前辈，我在陈立的微积分书籍看到了 05/22 23:36
6F：→ mk426375 :而偏微分只讨论"沿着平行某条座标轴的路径"的情况 05/22 23:37
7F：→ andy2007 :fx(a,b)、fy(a,b)存在，不一定f(x,y)在(a,b)可微分 05/22 23:38
8F：→ andy2007 :f(x,y)在(a,b)可微分，一定fx(a,b)、fy(a,b)存在 05/22 23:39
9F：→ andy2007 :所以说这个定理主要是要强调 05/22 23:40
10F：→ andy2007 :fx and fy are continuous，除了fx fx存在以外， 05/22 23:40
11F：→ andy2007 :还要在开区间中连续，这样 f 才可以微分是吗？ 05/22 23:41
12F：→ andy2007 :应该是说除了fx fy存在以外，f要在开区间中连续 05/22 23:43
13F：推 mk426375 :原文的意思就是两个一阶偏微分连续啊... 05/22 23:44
14F：→ andy2007 :喔喔，原来是两个一阶偏微分连续 05/22 23:46
15F：→ andy2007 :两个一阶偏微分存在，有可能两个一阶偏微分不连续吗 05/22 23:47
16F：推 mk426375 :For example, f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)). 05/22 23:49
17F：→ mk426375 :check if fx and fy exist and if f is cont.at(0,0) 05/22 23:52
18F：→ mk426375 :更正，上面的函数定义在(x,y)≠(0,0), f(0,0)=0 05/22 23:53
19F：→ andy2007 :原来如此，我一直把偏微分存在 = 偏微分连续 05/22 23:54
20F：→ andy2007 :这两个不同的想法混为一谈，真是大错特错Orz 05/22 23:57
21F：→ andy2007 :再次感谢mk426375前辈～ 05/23 00:00
22F：推 jollic :没人注意到"than"吗 XDDDD 05/23 00:11
23F：推 peicachu :我只发现有一些英文单字打错XD 05/23 00:18
※ 编辑: andy2007 来自: 140.125.169.71 (05/23 10:21)
24F：→ andy2007 :尴尬！赶紧改回来 05/23 10:22
26F：→ andy2007 :不好意思再问个问题：定义所说的 fx and fy are 05/23 14:00
27F：→ andy2007 :continuous in an open region R 的意思是 05/23 14:01
28F：→ andy2007 :fx和fy要在开区间中连续，这里的意思是二阶偏微分要 05/23 14:01
29F：→ andy2007 :存在，fxy(x,y) = fyx(x,y) 是吗？ 05/23 14:04
30F：→ andy2007 :或是说只要fx、fy极限值等於fx、fy函数值就可以了？ 05/23 14:06
31F：→ andy2007 :找到答案了，fx、fy在开区间中的任意(a,b)点 05/23 14:18
32F：→ andy2007 :极限值等於函数值，就是fx、fy连续了 05/23 14:18
33F：→ andy2007 :感觉好像又有错误，极限存在不一定连续，但是可微分 05/23 14:36
34F：→ andy2007 :就一定连续，所以应该是fxy(x,y) = fyx(x,y)才对 05/23 14:37
35F：推 mk426375 :极限值等於该点函数值就是连续了 05/23 14:46
36F：→ andy2007 :谢谢前辈，但是极限存在不一定连续，是否要把这种 05/23 14:49
37F：→ andy2007 :情况排除掉比较好呢？ 05/23 14:50
38F：推 endlesschaos:为什麽f(a,b)可微分 fx(a,b)或fy(a,b)不一定存在？ 05/23 15:29
39F：→ endlesschaos:fx(a,b)和fy(a,b)不就是f(a,b)沿着 x = c 或 y = c的 05/23 15:30
40F：→ endlesschaos:方向微分的值吗？既然各个方向都连续可微 没道理偏x 05/23 15:30
41F：→ endlesschaos:和偏y不存在吧 05/23 15:30
42F：→ endlesschaos:歹势看错行 多看了一个「不」字 05/23 15:31