作者JohnMash (Paul)
看板Math
標題Re: [中學] 資優試題
時間Sat May 21 21:20:05 2011
※ 引述《ddrmatch ()》之銘言：
: 1. k為整數,z=k+0.5+(k^2+0.25)^0.5
: 求證z^n的整數部分能被k整除
z=k+1/2+√(k^2+1/4)
u=k+1/2-√(k^2+1/4)
zu=(k+1/2)^2-(k^2+1/4)=k
and z+u=2k+1.....................(1)
z^2+u^2=(z+u)^2-2zu=(2k+1)^2-2k=4k^2+2k+1..........(2)
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Claim. An(=z^n+u^n) is an integer for every n
and An=1 (mod k)
Proof.
By (1) and (2), n=1,2 are valid
Assume A_{n-1},An are integers and A_{n-1}=An=1(mod k).
then A_{n+1}=z^{n+1}+u^{n+1}
=(z^n+u^n)(z+u)-zu(z^{n-1}+u^{n-1})
=An*(2k+1)-kA_{n-1}=1(mod k)
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But, 0<u<1
hence, [z^n]=An - 1 = 0 (mod k)
: 2.設M(p*2002, 7p*2002)其中p為質數且滿足
: (1)三角形的三個頂點都是整數點,且M是直角頂點
: (2)三角形內心座標為原點
: 滿足以上條件的直角三角形個數
: ANS:p=2時162個
: p=7.11.13時180個
: 其他質數324個
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◆ From: 112.104.172.39
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.172.39 (05/21 21:32)
1F：推 ddrmatch :非常感謝 05/21 22:22