作者JohnMash (Paul)
看板Math
标题Re: [中学] 资优试题
时间Sat May 21 21:20:05 2011
※ 引述《ddrmatch ()》之铭言：
: 1. k为整数,z=k+0.5+(k^2+0.25)^0.5
: 求证z^n的整数部分能被k整除
z=k+1/2+√(k^2+1/4)
u=k+1/2-√(k^2+1/4)
zu=(k+1/2)^2-(k^2+1/4)=k
and z+u=2k+1.....................(1)
z^2+u^2=(z+u)^2-2zu=(2k+1)^2-2k=4k^2+2k+1..........(2)
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Claim. An(=z^n+u^n) is an integer for every n
and An=1 (mod k)
Proof.
By (1) and (2), n=1,2 are valid
Assume A_{n-1},An are integers and A_{n-1}=An=1(mod k).
then A_{n+1}=z^{n+1}+u^{n+1}
=(z^n+u^n)(z+u)-zu(z^{n-1}+u^{n-1})
=An*(2k+1)-kA_{n-1}=1(mod k)
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But, 0<u<1
hence, [z^n]=An - 1 = 0 (mod k)
: 2.设M(p*2002, 7p*2002)其中p为质数且满足
: (1)三角形的三个顶点都是整数点,且M是直角顶点
: (2)三角形内心座标为原点
: 满足以上条件的直角三角形个数
: ANS:p=2时162个
: p=7.11.13时180个
: 其他质数324个
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.172.39
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.172.39 (05/21 21:32)
1F：推 ddrmatch :非常感谢 05/21 22:22