作者funnypeter (很難笑,披得)
看板Math
標題[微積] 關於PDE的變數分離法的問題
時間Thu May 19 12:48:58 2011
其實這個應該算是有點蠢的問題
但我真的很想弄清楚!!
若有函數u(x,y)
利用變分法寫成u=F(x)G(y)
代入波方程式 熱方程式什麼的
整理後寫成 F''(x)=G''(y)
這是工數課本上很常見的式子
其中一定會寫到：
"因為變數已經分開了，左邊只有x，右邊只有y，固定y值
任意改變x值等號都會成立，於是他們必為常數"
於是令他們等於-k^2，然後就這樣解出F和G
如果用"結果論"來討論 是沒錯的...
我的疑問是 當初解這個方程式的人為什麼可以這麼肯定這個等號是"絕對成立"?
也就是不論怎麼改變x和y的值 等號恆成立....?
為什麼不會將等號認為是必須在特定的值才能成立的情況呢?
例如 f(x)=5x，g(y)=2y
f(x)=g(y)，其中等號成立只限定在特定的值，例如x=1,y=2.5(或其他可能解)
等號才能成立，而不是"絕對成立"
很想知道當初解這個方程式的人為何可以這麼肯定等號是絕對成立的呢??
謝謝
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◆ From: 140.115.201.87
1F：→ ricestone :理解反過來了，就是因為兩邊相等，所以才有常數結論 05/19 13:43
2F：→ ricestone :相等只是因為直接帶進去算出來相等 05/19 13:44
3F：→ funnypeter :對啊 所以這是結果論不是嗎@@? 在不知道答案是常數 05/19 15:24
4F：→ funnypeter :之前 為何可以肯定等號成立呢? 05/19 15:24
5F：→ ricestone :不是這樣，假設解的樣子為分離變數的形式 05/19 15:27
6F：→ ricestone :那你計算結果就是發現兩次微分會變常數 05/19 15:28
7F：→ ricestone :等號成立不過就只是代數計算而已 05/19 15:29
8F：→ ricestone :實際上那只是特殊解而已，原題還是有可能有其他解 05/19 15:29
9F：→ ricestone :"有其他二次微分並非為常數的解" 05/19 15:30