作者funnypeter (很难笑,披得)
看板Math
标题[微积] 关於PDE的变数分离法的问题
时间Thu May 19 12:48:58 2011
其实这个应该算是有点蠢的问题
但我真的很想弄清楚!!
若有函数u(x,y)
利用变分法写成u=F(x)G(y)
代入波方程式 热方程式什麽的
整理後写成 F''(x)=G''(y)
这是工数课本上很常见的式子
其中一定会写到：
"因为变数已经分开了，左边只有x，右边只有y，固定y值
任意改变x值等号都会成立，於是他们必为常数"
於是令他们等於-k^2，然後就这样解出F和G
如果用"结果论"来讨论 是没错的...
我的疑问是 当初解这个方程式的人为什麽可以这麽肯定这个等号是"绝对成立"?
也就是不论怎麽改变x和y的值 等号恒成立....?
为什麽不会将等号认为是必须在特定的值才能成立的情况呢?
例如 f(x)=5x，g(y)=2y
f(x)=g(y)，其中等号成立只限定在特定的值，例如x=1,y=2.5(或其他可能解)
等号才能成立，而不是"绝对成立"
很想知道当初解这个方程式的人为何可以这麽肯定等号是绝对成立的呢??
谢谢
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.115.201.87
1F：→ ricestone :理解反过来了，就是因为两边相等，所以才有常数结论 05/19 13:43
2F：→ ricestone :相等只是因为直接带进去算出来相等 05/19 13:44
3F：→ funnypeter :对啊 所以这是结果论不是吗@@? 在不知道答案是常数 05/19 15:24
4F：→ funnypeter :之前 为何可以肯定等号成立呢? 05/19 15:24
5F：→ ricestone :不是这样，假设解的样子为分离变数的形式 05/19 15:27
6F：→ ricestone :那你计算结果就是发现两次微分会变常数 05/19 15:28
7F：→ ricestone :等号成立不过就只是代数计算而已 05/19 15:29
8F：→ ricestone :实际上那只是特殊解而已，原题还是有可能有其他解 05/19 15:29
9F：→ ricestone :"有其他二次微分并非为常数的解" 05/19 15:30