作者sa12e3 ((．＿．?))
看板Math
標題Re: [中學] 100台南二中教甄證明
時間Mon May 9 10:25:04 2011
※ 引述《tingisall ( @@)》之銘言：
: 三角形ABC中 AB=c BC=a AC=b
: 已知tan(A/2)‧tan(C/2)=1/3
: 證:a b c三數成等差
: (題目不知道有沒有記錯 有錯請指正 謝謝)
------
首先，我們必須先證明 2sinB = sinA + sinC
然後再用正弦定理代入 2sinB = sinA + sinC，即可得 2b = a + c
------
假設 2sinB = sinA + sinC 成立，
因為 A + B + C = 180，所以 sinB = sin(A+C).....sin函數位於(I)、(II)象限值相等
將 sinB = sin(A+C) 代入 2sinB = sinA + sinC
可得 2sin(A+C) = sinA + sinC...(*)式
再對(*)式，等式兩邊分別做 二倍角 = 和差化積
可得 4sin[(A+C)/2]*cos[(A+C)/2] = 2sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]
整理可得: 2cos[(A+C)/2] = cos[(A-C)/2]....($)式
接著對 ($)式 等號兩邊作積化和差展開，可得
2cos(A/2)*cos(C/2) - 2sin(A/2)*sin(C/2) = cos(A/2)*cos(C/2) + sin(A/2)*sin(C/2)
再整理可得: 3sin(A/2)*sin(C/2) = cos(A/2)*cos(C/2)
{[sin(A/2)/cos(A/2)][sin(C/2)/cos(C/2)]} = 1/3
tan(A/2)*tan(C/2) = 1/3
故 tan(A/2)*tan(C/2) = 1/3時， 2sinB = sinA + sinC 成立。
又由正弦定理可知: a/sinA = b/sinB = c/sinC ，則 sinB = (b/a)*sinA 以及
sinC = (c/a)*sinA 代入 2sinB = sinA + sinC
2(b/a)*sinA = sinA + (c/a)*sinA
2b = a + c 即為 a、b、c 三數成等差，故得證。
※ 編輯: sa12e3 來自: 140.130.208.8 (05/09 10:57)