作者sa12e3 ((．＿．?))
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标题Re: [中学] 100台南二中教甄证明
时间Mon May 9 10:25:04 2011
※ 引述《tingisall ( @@)》之铭言：
: 三角形ABC中 AB=c BC=a AC=b
: 已知tan(A/2)‧tan(C/2)=1/3
: 证:a b c三数成等差
: (题目不知道有没有记错 有错请指正 谢谢)
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首先，我们必须先证明 2sinB = sinA + sinC
然後再用正弦定理代入 2sinB = sinA + sinC，即可得 2b = a + c
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假设 2sinB = sinA + sinC 成立，
因为 A + B + C = 180，所以 sinB = sin(A+C).....sin函数位於(I)、(II)象限值相等
将 sinB = sin(A+C) 代入 2sinB = sinA + sinC
可得 2sin(A+C) = sinA + sinC...(*)式
再对(*)式，等式两边分别做 二倍角 = 和差化积
可得 4sin[(A+C)/2]*cos[(A+C)/2] = 2sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]
整理可得: 2cos[(A+C)/2] = cos[(A-C)/2]....($)式
接着对 ($)式 等号两边作积化和差展开，可得
2cos(A/2)*cos(C/2) - 2sin(A/2)*sin(C/2) = cos(A/2)*cos(C/2) + sin(A/2)*sin(C/2)
再整理可得: 3sin(A/2)*sin(C/2) = cos(A/2)*cos(C/2)
{[sin(A/2)/cos(A/2)][sin(C/2)/cos(C/2)]} = 1/3
tan(A/2)*tan(C/2) = 1/3
故 tan(A/2)*tan(C/2) = 1/3时， 2sinB = sinA + sinC 成立。
又由正弦定理可知: a/sinA = b/sinB = c/sinC ，则 sinB = (b/a)*sinA 以及
sinC = (c/a)*sinA 代入 2sinB = sinA + sinC
2(b/a)*sinA = sinA + (c/a)*sinA
2b = a + c 即为 a、b、c 三数成等差，故得证。
※ 编辑: sa12e3 来自: 140.130.208.8 (05/09 10:57)