前輩們好，在課本看到一題看不懂的題目，想請教各位前輩們，題目如下： ==================================== 一條生產線會生產2種型態的裝置。 型態 1 裝置的發生機率為 α，它的生命期為具參數 r 的幾何隨機分佈。 型態 2 裝置的發生機率為 1-α，它的生命期為具參數 s 的幾何隨機分佈。 令 X 為任意一個裝置的生命期。求出 X 的 pmf。 ==================================== 產生出 X 的隨機實驗牽涉到先選取一種裝置狀態，然後觀察它的生命期。 我們可以分割本實驗的結果集合為「事件B1」和「事件B2」， 事件B1代表裝置是型態 1 的，事件B2代表裝置是型態 2 的。 在給定的裝置狀態之下，X 的條件 pmf 為： k-1 p (k) = (1-r) r ; k = 1,2,... X|B1 k-1 p (k) = (1-s) s ; k = 1,2,... X|B2 使用全機率定理可以得到： n p (x) = Σ p (x|Bi) P[Bi] X i=1 X p (k) = p (k|B1) P[B1] + p (k|B2) P[B2] X X X k-1 k-1 = (1-r) r α + (1-s) s (1-α) ; k = 1,2,... 並且求出這個裝置生命期的期望值和變異數。 也就是 條件期望值： ∞ ∞ k-1 1 m = E[X|B1] = Σ k p (k|B1) = Σ k r(1-r) = --- (經過連加和指標變換) X|B1 k=1 X k=1 r 1 m = --- X|B2 s 條件變異數： 2 VAR[X|B1] = E [ ( X － m ) | B1 ] X|B1 ∞ 2 = Σ ( x － m ) p (x |B1) k=1 k X|B1 X k 2 2 = E[X | B1] － m X|B1 我的問題是： 二階動差該怎麼算呢？ 2 E[X | B1] = ？ 我嘗試著套用一階動差的方法來算： 　 2 E[X | B1] 2 ∞ 2 2 ∞ 2 k - 1 = Σ k p (k |B1) = Σ k r(1-r) k=1 k=1 = ..... 就不知道該怎麼算下去了 Orz (1+r) 課本的答案是 = ------- r^2 2 (1+s) E[X | B2] = ------- s^2 請問各位前輩們，我該怎麼算呢？ 只能用級數展開的方式來求解嗎？還是說我的算法錯了？ 因為課本沒有提到動差母函數，所以也不知道動差母函數可不可以用。 初學機率，有很多搞不清楚的地方，請各位前輩們指點迷津、批評指教 謝謝各位前輩們的幫忙，謝謝您們～ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.125.169.71 ※ 編輯: andy2007 來自: 140.125.169.71 (05/07 12:52) 更改一下： 　 2 E[X | B1] ∞ 2 ∞ 2 k - 1 = Σ k p (k |B1) = Σ k r(1-r) k=1 k=1 1 2 3 = r + 4r(1-r) + 9r(1-r) + 16r(1-r) + ... 2 3 = r + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... 2 3 + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... 2 3 + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... 2 3 + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... + ... ∞ k-1 ∞ k-1 ∞ k-1 = Σ r(1-r) + 3 Σ r(1-r) + 5 Σ r(1-r) + ... k=1 k=2 k=3 ∞ k-1 ∞ k-1 2 ∞ k-1 = Σ r(1-r) + 3(1-r) Σ r(1-r) + 5(1-r) Σ r(1-r) + ... k=1 k=1 k=1 2 = 1 + 3(1-r) + 5(1-r) + ... ∞ k-1 = Σ (2k-1)(1-r) k=1 Let n = k-1 2k - 1 = 2(k-1) + 1 = 2n+1 ∞ n = Σ (2n+1)(1-r) n=0 ∞ n ∞ n = Σ (2n)(1-r) + Σ (1-r) n=0 n=0 ∞ n 1 = 2 Σ n(1-r) + --- n=0 r = 之後就不知道怎麼算了 Orz ※ 編輯: andy2007 來自: 140.125.169.71 (05/07 16:12) ※ 編輯: andy2007 來自: 140.125.169.71 (05/07 16:29)