前辈们好，在课本看到一题看不懂的题目，想请教各位前辈们，题目如下： ==================================== 一条生产线会生产2种型态的装置。 型态 1 装置的发生机率为 α，它的生命期为具参数 r 的几何随机分布。 型态 2 装置的发生机率为 1-α，它的生命期为具参数 s 的几何随机分布。 令 X 为任意一个装置的生命期。求出 X 的 pmf。 ==================================== 产生出 X 的随机实验牵涉到先选取一种装置状态，然後观察它的生命期。 我们可以分割本实验的结果集合为「事件B1」和「事件B2」， 事件B1代表装置是型态 1 的，事件B2代表装置是型态 2 的。 在给定的装置状态之下，X 的条件 pmf 为： k-1 p (k) = (1-r) r ; k = 1,2,... X|B1 k-1 p (k) = (1-s) s ; k = 1,2,... X|B2 使用全机率定理可以得到： n p (x) = Σ p (x|Bi) P[Bi] X i=1 X p (k) = p (k|B1) P[B1] + p (k|B2) P[B2] X X X k-1 k-1 = (1-r) r α + (1-s) s (1-α) ; k = 1,2,... 并且求出这个装置生命期的期望值和变异数。 也就是 条件期望值： ∞ ∞ k-1 1 m = E[X|B1] = Σ k p (k|B1) = Σ k r(1-r) = --- (经过连加和指标变换) X|B1 k=1 X k=1 r 1 m = --- X|B2 s 条件变异数： 2 VAR[X|B1] = E [ ( X － m ) | B1 ] X|B1 ∞ 2 = Σ ( x － m ) p (x |B1) k=1 k X|B1 X k 2 2 = E[X | B1] － m X|B1 我的问题是： 二阶动差该怎麽算呢？ 2 E[X | B1] = ？ 我尝试着套用一阶动差的方法来算： 　 2 E[X | B1] 2 ∞ 2 2 ∞ 2 k - 1 = Σ k p (k |B1) = Σ k r(1-r) k=1 k=1 = ..... 就不知道该怎麽算下去了 Orz (1+r) 课本的答案是 = ------- r^2 2 (1+s) E[X | B2] = ------- s^2 请问各位前辈们，我该怎麽算呢？ 只能用级数展开的方式来求解吗？还是说我的算法错了？ 因为课本没有提到动差母函数，所以也不知道动差母函数可不可以用。 初学机率，有很多搞不清楚的地方，请各位前辈们指点迷津、批评指教 谢谢各位前辈们的帮忙，谢谢您们～ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.125.169.71 ※ 编辑: andy2007 来自: 140.125.169.71 (05/07 12:52) 更改一下： 　 2 E[X | B1] ∞ 2 ∞ 2 k - 1 = Σ k p (k |B1) = Σ k r(1-r) k=1 k=1 1 2 3 = r + 4r(1-r) + 9r(1-r) + 16r(1-r) + ... 2 3 = r + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... 2 3 + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... 2 3 + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... 2 3 + r(1-r) + r(1-r) + r(1-r) + ... + ... ∞ k-1 ∞ k-1 ∞ k-1 = Σ r(1-r) + 3 Σ r(1-r) + 5 Σ r(1-r) + ... k=1 k=2 k=3 ∞ k-1 ∞ k-1 2 ∞ k-1 = Σ r(1-r) + 3(1-r) Σ r(1-r) + 5(1-r) Σ r(1-r) + ... k=1 k=1 k=1 2 = 1 + 3(1-r) + 5(1-r) + ... ∞ k-1 = Σ (2k-1)(1-r) k=1 Let n = k-1 2k - 1 = 2(k-1) + 1 = 2n+1 ∞ n = Σ (2n+1)(1-r) n=0 ∞ n ∞ n = Σ (2n)(1-r) + Σ (1-r) n=0 n=0 ∞ n 1 = 2 Σ n(1-r) + --- n=0 r = 之後就不知道怎麽算了 Orz ※ 编辑: andy2007 来自: 140.125.169.71 (05/07 16:12) ※ 编辑: andy2007 来自: 140.125.169.71 (05/07 16:29)