※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言： : 想請教大家一題極限證明 : Prove the relation : 1 1 : lim --------- (1^k + 2^k + .... + n^k) = -------- : n->∞ n^(k+1) k + 1 : for any nonnegative integer k. : 題目有給Hint: 我用跟題目想要你做的方法不一樣的路 我的方法是這樣 先考慮排列組合問題 N格放1球 N 方法數有 C ＝ N 1 接著考慮放2球的情形 N-1 先將第一顆球放在第1格 則第二顆球有 C 種方法 1 N-2 2 C 1 . . . 1 n-1 C 1 因此得到 N N-1 i N-1 (N－1)N C ＝ Σ C ＝Σ i＝ ──── 2 i=1 1 i=1 2 以同樣方式處理3顆球的情形 得到 N N-2 i N-2 (i－1)i (N－2)(N－1)N C ＝ Σ C ＝ Σ ──── ＝ ──────── 3 i=2 2 i=2 2 3! N 最右邊的等號是直接套最左邊的 C 的結果 k 於是 一般而言 就有 N N-p i N-p (i－p＋1)…(i－1)i (N－p)…(N－1)N C ＝ Σ C ＝ Σ ────────── ＝ ───────── P+1 i=p p i=p p! (p＋1)! 將最後一個等號的兩邊做變數代換 n＝N-p , k＝i－p＋1 n k(k＋1)…(k＋p－1) n(n＋1)…(n＋p) Σ ────────── ＝ ───────── k＝1 p! (p＋1)! 不過這個式子早就被發現而且很有名了 1636年法國數學家Fermat 興高采烈地給朋友寫了一封信：「我已解決了在算術中可以算是最漂亮的一個問題。」 就是指這個式子 他是怎麼得來的我就不知道了 從這個式子可以看出* k+1 n k n Σ i 出來的一般式, 其最高次就是 ── i=1 k+1 1 所以那個極限值就是 ── k+1 n 4 *怎麼看出? 譬如說你想知道Σ k 的一般式 k=1 你只要從那個式子代 p=4 n k(k+1)(k+2)(k+3) n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) Σ ──────── ＝ ─────────── k=1 4! 5! 5 4 3 2 n 4 3 2 n ＋ 10n ＋ 35n ＋ 50n ＋24n Σ ( k ＋ 6k ＋ 11k ＋ 6k )＝ ──────────────── k=1 5 n 3 n 2 n 先決條件 Σ k Σ k Σ k 這三個皆已知 k=1 k=1 k=1 n 4 代入就可以解出 Σ k k=1 不過求這題極限無須完整解出 照這樣看 就可以很快看出最高次項 --

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