※ 引述《kusoayan (玮哥)》之铭言： : 想请教大家一题极限证明 : Prove the relation : 1 1 : lim --------- (1^k + 2^k + .... + n^k) = -------- : n->∞ n^(k+1) k + 1 : for any nonnegative integer k. : 题目有给Hint: 我用跟题目想要你做的方法不一样的路 我的方法是这样 先考虑排列组合问题 N格放1球 N 方法数有 C ＝ N 1 接着考虑放2球的情形 N-1 先将第一颗球放在第1格 则第二颗球有 C 种方法 1 N-2 2 C 1 . . . 1 n-1 C 1 因此得到 N N-1 i N-1 (N－1)N C ＝ Σ C ＝Σ i＝ ──── 2 i=1 1 i=1 2 以同样方式处理3颗球的情形 得到 N N-2 i N-2 (i－1)i (N－2)(N－1)N C ＝ Σ C ＝ Σ ──── ＝ ──────── 3 i=2 2 i=2 2 3! N 最右边的等号是直接套最左边的 C 的结果 k 於是 一般而言 就有 N N-p i N-p (i－p＋1)…(i－1)i (N－p)…(N－1)N C ＝ Σ C ＝ Σ ────────── ＝ ───────── P+1 i=p p i=p p! (p＋1)! 将最後一个等号的两边做变数代换 n＝N-p , k＝i－p＋1 n k(k＋1)…(k＋p－1) n(n＋1)…(n＋p) Σ ────────── ＝ ───────── k＝1 p! (p＋1)! 不过这个式子早就被发现而且很有名了 1636年法国数学家Fermat 兴高采烈地给朋友写了一封信：「我已解决了在算术中可以算是最漂亮的一个问题。」 就是指这个式子 他是怎麽得来的我就不知道了 从这个式子可以看出* k+1 n k n Σ i 出来的一般式, 其最高次就是 ── i=1 k+1 1 所以那个极限值就是 ── k+1 n 4 *怎麽看出? 譬如说你想知道Σ k 的一般式 k=1 你只要从那个式子代 p=4 n k(k+1)(k+2)(k+3) n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) Σ ──────── ＝ ─────────── k=1 4! 5! 5 4 3 2 n 4 3 2 n ＋ 10n ＋ 35n ＋ 50n ＋24n Σ ( k ＋ 6k ＋ 11k ＋ 6k )＝ ──────────────── k=1 5 n 3 n 2 n 先决条件 Σ k Σ k Σ k 这三个皆已知 k=1 k=1 k=1 n 4 代入就可以解出 Σ k k=1 不过求这题极限无须完整解出 照这样看 就可以很快看出最高次项 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 115.43.150.27 ※ 编辑: PaulErdos 来自: 115.43.150.27 (05/04 23:40)