作者yclinpa (薇楷的爹)
看板Math
標題Re: [微積] 有關高微中 Cauchy Sequence
時間Wed May 4 11:40:31 2011
※ 引述《ulamaca (ulmer)》之銘言：
: 標題: [微積]有關高微中 Cauchy Sequence
: 時間: Wed May 4 09:13:18 2011
:
: Apostol 第四章中(定理4.8)，
:
: 證明R^k中所有的Cauchy Sequence收斂，
:
: 最後有一個命題一直想不明白，
:
: 就是當找到accumulation point: p 之後
:
: 為什麼就可以確定
:
: Givenε>0，the ball B(p;ε/2) contains a point Xm with m>=N
:
: (This N is the one s.t. ||Xn-Xm||<ε/2 whenever n>=N and m>=N)
:
: ※ 編輯: ulamaca 來自: 140.119.200.43 (05/04 09:13)
: 推 ss1132 :這就是accumulation point的定義 05/04 10:21
: → ulamaca :可是定義是不是只能保證B(p;ε/2)中含有一個不是p的x 05/04 10:34
: → ulamaca :點，可以保證這個點符合Xm,m>=N這件事嗎? 還是我理解 05/04 10:36
: → ulamaca :有誤...? 05/04 10:37
從 accumulation point 的定義，可以推得下面更強的結論：
對所有的ε>0， B(p; ε/2) 都會包含無窮多個不是 p 的 Xm 點。
於是總是可以找到某一個 Xm, 其足標大於等於 N。
此更強結論證明如下：
假設 B(p;ε/2) 只包含有限多個不是 p 的點 Xm, 記為 Xm1, Xm2, ..., Xmk.
令ε' = min ||Xmi - p||, i=1,2,3,...,k.
則 B(p;ε')不包含任何不是 p 的點 Xm, 此和 "p 是 accumulation point" 矛盾。
Done.
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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◆ From: 140.122.140.53
1F：推 ulamaca :感謝!! 可是那個矛盾好像怪怪的耶，因為假設他沒包 05/04 11:53
2F：推 austin1119 :有神推一下XD 話說不知不覺P幣撈到小富了.. 05/04 11:57
3F：→ ulamaca :Xm的點，應該還是有可能包到原集合中的其他點吧? 05/04 11:57
4F：→ ulamaca :有錯請指正! 謝謝 05/04 11:58
5F：推 ss1132 :他應該是假設只包到Xm這些有限點沒有其它點了 05/04 12:49