作者herstein (翔爸)
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標題Re: [線代] 試證 hermitian矩陣具有此性質
時間Wed May 4 09:52:41 2011
※ 引述《pennyleo (落日黃花)》之銘言：
: 考慮一N階hermitian矩陣
: 試證
: 此hermitian矩陣 必定存在n個互為正交的eigenvector
: 這個證明應該沒有很難
: 但小弟的數學並不是很好
: 想請版上的朋友幫忙
: 我前日問過這個證明的逆證明
: 我想要確定這個性質的充要條件
: 謝謝
Define a function f:C^n->C by f(x)=<Ax,x>.
Since A is Hermitian, f is a real-valued continuous function on C^n.
Since the closed unit sphere in C^n is compact and a continuous function on
a compact set attains its maximal, f attains its maximal. Denote the maximal
by a_1. Suppose f(x_1)=a_1. Then one can show that x_1 is an eigenvector
of A with eigenvalue a_1.
重點在於歐氏空間連續函數定義在有界的閉子集上有極大值極小值，這個構造
的極大值是A的一個特徵值。由於我們考慮的問題是在球面上，所以極大值的
那個點是單位向量，並且是A的特徵值。
Let V_n-1 be the orthogonal complement of {x_1}. Since A is Hermitain,
V_n-1 is A-invariant. Consider f_1:V_n-1->V by f_1(y)=<Ay,y>.
Similarly, one can find the maximum a_2 of f_1 at x_2.
Again, x_2 is the eigenvalue of A with corresponding eigenvalue a_2.
找到了一個特徵向量x_1之後，考慮{x_1}的正交補空間V_n-1，你在那空間上
用同樣的方法可以找極大值，跟第二個特徵向量。同理你就可以構造所有的
特徵直跟特徵向量，並且特徵向量是直交的。
Note that x_2 is orthogonal to x_1.
Inductively, we can find a set of numbers {a_1>a_2>...>a_n}
and an orthonormal basis {x_i} so that
Ax_i=a_ix_i.
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1F：→ pennyleo :thx very much 05/09 20:13