※ 引述《pennyleo (落日黃花)》之銘言： : 標題: [線代] 試證 hermitian矩陣具有此性質 : 時間: Tue May 3 20:14:26 2011 : : 考慮一N階hermitian矩陣 : : : 試證 : 此hermitian矩陣 必定存在n個互為正交的eigenvector : : : 這個證明應該沒有很難 : 但小弟的數學並不是很好 : 想請版上的朋友幫忙 : : 我前日問過這個證明的逆證明 : 我想要確定這個性質的充要條件 : : 謝謝 : : : -- :

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 134.208.23.94 : ※ 編輯: pennyleo 來自: 134.208.23.94 (05/03 20:17) : 推 scan33scan33:所以你要證明兩個方向唷？ 05/03 20:24 : 推 sa12e3 :我記得劉?昌還是什麼名字 大學補教界名師的 線性代數 05/03 20:51 : → sa12e3 :前面就有~ 去圖書館找找~ 05/03 20:52 : → sa12e3 :沒記錯的話是這樣 有錯請見諒! 05/03 20:52 : 推 G41271 :線代課本就有了吧 05/03 20:53 : 推 scan33scan33:頻譜定理:) 05/03 21:01 : 推 math1209 :Using Schur thm, it's a result of normal matrices 05/03 21:12 那我來順一下證明好了。 Schur　分解：對所有 n*n的複數矩陣 A ，存在n*n　unitary矩陣Q，使得 A = QTQ* 其中 T　是上三角矩陣。 <證明> (數學歸納法) 當n = 1, Q = [1], Q* = [1], T = A　假設成立 假設n = k, 成立 當n = k+1, 因為 det(A - \lambda I)　by 代數基本定理必有一解， 所以 A有一個eigenvalue g　以及其 eiganvector v (normalized to unit length) 那存在U=[v u2 u3 ... un]是一個unitary matrix 且 span C^n 那 AU = [Av Au2 Au3 ... Aun] = [gv Au2 ... Aun] = U [ v w^T 0 B ] for some w and B. ( 因為B是k階矩陣，所以by 數學歸納假設 B = VSV* for some unitary matrix V and some 上三角矩陣　S ) = U [ v w^T 0 VSV*] = U [0 0 [v w^T [0 0 0 V] 0 S ] 0 V*] ------- ------ Q T 所以選Q,T如上，在k+1的case也成立。 故得證 == 那看看　漢米爾頓矩陣： (當A=A*) By Schur分解：　 A = QUQ* for some Q unitary, U是上三角。 A* = QU*Q* AA = QU^2Q* AA* = QUQ*QU*Q = QUU*Q 所以，U=U* 因為U是上三角,又他的共軛轉置就是他自己 ==> U是對角，而且其值都是實數 所以我們得到 A = QUQ*, 令U = diag(u1,u2,...,un) Q = [q1 q2 ... qn] 那 Aqi = QUQ*qi = Q [0 .. 0 ui 0 .. 0]^T = uqi. 這些qi都是eigenvector ui是eigenvalue 且他們正交。 得證. -- I'm CAT (Combinatorics, Analysis, and Topology) About Me : http://columbia.edu/~mt2767 想找程式或數學家教，還是發包程式案件嗎？ http://w.csie.org/~b95028/parttime.php --

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